在數學中,「1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·」這個無窮級數是絕對收斂的交錯級數中的一個較為簡單的例子。
因為「1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·」是一個首項為1/2、公比為−1/2的幾何級數,所以將它求和有:
哈肯布什遊戲及超現實數
![Thumb](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Hackenbush_two_thirds.svg/228px-Hackenbush_two_thirds.svg.png)
對該級數進行簡單的移項後有:
上一步得到的級數由一個正整數加上一組或正或負的1/2的冪組成,所以它可以被轉化為代表超現實數1/3的無限的藍-紅Hackenbush串(blue-red Hackenbush string):
- LRRLRLR… = 1/3.[1]
簡化後的Hackenbush串消去了重複的「R」:
- LRLRLRL… = 2/3.[2]
相關級數
- 「1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · · 是絕對收斂的。」這樣的陳述意味着級數「1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·」是收斂的。事實上,後者收斂得到1,而且它證明了1進行二進制擴展(binary expansion)後得到的是0.111…。
- 將級數「1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · · 」各項按順序從左至右兩兩相加,會得到另一個具有同樣的和的幾何級數,「1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·」。這是數學史上第一個被求和的級數;它曾被阿基米德於公元前約250~200年使用過。[3]
- 發散級數「1 − 2 + 4 − 8 + · · ·」的歐拉轉換是「1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·」,因此,雖然前者並不具有通常意義上的和,但它的歐拉求和的結果也是1/3。[4]
註釋
參考
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