限制 (數學)

在數學中，映射的限制 ${\displaystyle f}$ 是一個新的映射，記作 ${\displaystyle f\vert _{A}}$ 或者 ${\displaystyle f{\upharpoonright _{A}}}$ ，它是通過為原來的映射 ${\displaystyle f}$ 選擇一個更小的定義域 ${\displaystyle A}$ 來得到的。反過來，也稱映射 ${\displaystyle f}$ 是映射 ${\displaystyle f\vert _{A}}$ 的擴張。

正式定義

設 ${\displaystyle f:E\to F}$ 是一個集合 ${\displaystyle E}$ 到集合 ${\displaystyle F}$ 的映射。如果 ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle E}$ 的子集，那麼稱滿足$${\displaystyle \forall x\in A,\quad {f|}_{A}(x)=f(x)}$$的映射^[1] $${\displaystyle {f|}_{A}:A\to F}$$ 是映射 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle A}$ 上的限制。不正式地說， ${\displaystyle {f|}_{A}}$ 是和 ${\displaystyle f}$ 相同的映射，但只定義在 ${\displaystyle A}$ 上。

如果將映射 ${\displaystyle f}$ 看作一種在笛卡爾積 ${\displaystyle E\times F}$ 上的關係 ${\displaystyle (x,f(x))}$ ，然後 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle A}$ 上的限制可以用它的圖像來表示：

${\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),}$

其中 ${\displaystyle (x,f(x))}$ 表示圖像 ${\displaystyle G}$ 中的有序對。

擴張

映射 ${\displaystyle F}$ 稱為另一映射的 ${\displaystyle f}$ 的擴張，若且唯若 ${\displaystyle F{\big \vert }_{\operatorname {Dom} (f)}=f}$ 。也就是說同時滿足下面兩個條件：

1. 屬於 ${\displaystyle f}$ 之定義域的 ${\displaystyle x}$ 必然也在 ${\displaystyle F}$ 的定義域中，即 ${\displaystyle \operatorname {Dom} (f)\subseteq \operatorname {Dom} (F)}$ ；
2. ${\displaystyle f}$ 和 ${\displaystyle F}$ 在它們共同的定義域上的行為相同，即${\displaystyle \forall x\in \operatorname {Dom} (f),\quad f(x)=F(x)}$ 。

具有特定性質的擴張

數學上經常需要將一個具有指定性質的映射的定義域擴大，並要求擴張後的結果仍具有該性質，但擴張後。如尋找一個線性映射 ${\displaystyle f}$ 的擴張映射 ${\displaystyle F}$ ，且 ${\displaystyle F}$ 仍是線性的，這時說 ${\displaystyle F}$ 是 ${\displaystyle f}$ 的一個線性擴張，或者說；尋找一個連續映射 ${\displaystyle f}$ 的擴張映射 ${\displaystyle F}$ ，且 ${\displaystyle F}$ 仍連續，則稱為進行了連續擴張；諸如此類。

具有特定性質的擴張可能是唯一的，這時則不必給出擴張映射 ${\displaystyle F}$ 的詳細定義，如稠密子集到豪斯多夫空間的映射的連續擴張。

例子

1. 非單射函數 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :\ x\mapsto x^{2}}$ 在域${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}$ 上的限制是${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}$ ，而這是一個單射。
2. 將Γ函數限制在正整數集上，並將變量平移 ${\displaystyle 1}$ ，就得到階乘函數： ${\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!}$ 。

限制的性質

• 映射 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 在其整個定義域 ${\displaystyle X}$ 上的限制即是原函數，即 ${\displaystyle f|_{X}=f}$ 。
• 對一個映射在限制兩次與限制一次效果相同，只要最終的定義域一樣。也就是說，若 ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {Dom} (f)}$ ，則 ${\displaystyle \left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}}$ 。
• 集合 ${\displaystyle X}$ 上的恆等映射在集合 ${\displaystyle A}$ 上的限制即是 ${\displaystyle A}$ 到 ${\displaystyle X}$ 的包含映射。^[2]
• 連續函數的限制是連續的。^{[3] [4]}

應用

反函數

更多資訊：反函數

定義域為 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的函數 ${\displaystyle x^{2}}$ 沒有反函數。若考慮 ${\displaystyle x^{2}}$ 到非負實數的限制，則它有一個反函數，稱為平方根 ${\displaystyle x}$ 。

若某函數存在反函數，其映射必為單射。若映射 ${\displaystyle f}$ 非單射，可以限制其定義域以定義其一部分的反函數。如：

　　${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

因為 ${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$，故非單射。但若將定義域限制到 ${\displaystyle x\geq {0}}$ 時該映射為單射，此時有反函數

　　${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}}$

（若限制定義域至 ${\displaystyle x\leq {0}}$，輸出 ${\displaystyle y}$ 的負平方根的函數為反函數。）另外，若允許反函數為多值函數，則無需限制原函數的定義域。

粘接引理

更多資訊：粘接引理（英語：Pasting lemma）

點集拓撲學中的粘接引理聯繫了函數的連續性與限制函數的連續性。

設拓撲空間 ${\displaystyle A}$ 的子集 ${\displaystyle X,\ Y}$ 同時為開或閉，且滿足 ${\displaystyle A=X\cup {Y}}$，設 ${\displaystyle B}$ 為拓撲空間。若映射 ${\displaystyle f:A\to {B}}$ 到 ${\displaystyle X}$ 及 ${\displaystyle Y}$ 的限制都連續，則 ${\displaystyle f}$ 也是連續的。

基於此結論，粘接在拓撲空間中的開或閉集合上定義的兩個連續函數，可以得到一個新的連續函數。

層

主條目：層 (數學)

層將函數的限制推廣到其他物件的限制。

層論中，拓撲空間${\displaystyle X}$的每個開集${\displaystyle U}$，有另一個範疇中的物件${\displaystyle F(U)}$與之對應，其中要求${\displaystyle F}$滿足某些性質。最重要的性質是，若一個開集包含另一個開集，則對應的兩個物件之間有限制態射，即若${\displaystyle V\subseteq U}$，則有態射${\displaystyle \mathrm {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}$，且該些態射應仿照函數的限制，滿足下列條件：

1. 對${\displaystyle X}$的每個開集${\displaystyle U}$，限制態射${\displaystyle \mathrm {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}$為${\displaystyle F(U)}$上的恆等態射。
2. 若有三個開集${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}$，則複合${\displaystyle \mathrm {res} _{W,V}\circ \mathrm {res} _{V,U}=\mathrm {res} _{W,U}}$。
3. （局部性）若${\displaystyle (U_{i})}$為某個開集${\displaystyle U}$的開覆蓋，且${\displaystyle s,t\in F(U)}$滿足：對所有${\displaystyle i}$，${\displaystyle s\upharpoonright _{U_{i}}=t\upharpoonright _{U_{i}}}$，則${\displaystyle s=t}$。
4. （黏合) 若${\displaystyle (U_{i})}$為某個開集${\displaystyle U}$的開覆蓋，且對每個${\displaystyle i}$，給定截面${\displaystyle s_{i}\in F(U_{i})}$，使得對任意兩個${\displaystyle i,j}$，都有${\displaystyle s_{i},s_{j}}$在定義域重疊部分重合（即${\displaystyle s_{i}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}}$），則存在截面${\displaystyle s\in F(U)}$使得對所有${\displaystyle i}$，${\displaystyle s\upharpoonright _{U_{i}}=s_{i}}$。

所謂拓撲空間${\displaystyle X}$上的層，就是該些物件${\displaystyle F(U)}$和態射${\displaystyle \mathrm {res} _{V,U}}$組成的整體${\displaystyle (F,\mathrm {res} )}$。若僅滿足前兩項條件，則稱為預層。

引注

1. Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories 2nd. San Francisco: W. H. Freeman and Company. 1974: [36]. ISBN 0-7167-0457-9.
2. Halmos, Paul. Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
3. Munkres, James R. Topology 2nd. Upper Saddle River: Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2.
4. Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David. Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. 2008. ISBN 978-0-13-184869-6.