數學中,映射限制 是一個新的映射,記作 或者 ,它是通過為原來的映射 選擇一個更小的定義域 來得到的。反過來,也稱映射 是映射 擴張

正式定義

是一個集合 到集合 的映射。如果 子集,那麼稱滿足的映射[1] 是映射 上的限制。不正式地說, 是和 相同的映射,但只定義在 上。

如果將映射 看作一種在笛卡爾積 上的關係 ,然後 上的限制可以用它的圖像來表示:

其中 表示圖像 中的有序對

擴張

映射 稱為另一映射的 擴張,若且唯若 。也就是說同時滿足下面兩個條件:

  1. 屬於 之定義域的 必然也在 的定義域中,即
  2. 在它們共同的定義域上的行為相同,即

具有特定性質的擴張

數學上經常需要將一個具有指定性質的映射的定義域擴大,並要求擴張後的結果仍具有該性質,但擴張後。如尋找一個線性映射 的擴張映射 ,且 仍是線性的,這時說 的一個線性擴張,或者說;尋找一個連續映射 的擴張映射 ,且 仍連續,則稱為進行了連續擴張;諸如此類。

具有特定性質的擴張可能是唯一的,這時則不必給出擴張映射 的詳細定義,如稠密子集豪斯多夫空間的映射的連續擴張

例子

  1. 非單射函數 在域 上的限制是 ,而這是一個單射。
  2. Γ函數限制在正整數集上,並將變量平移 ,就得到階乘函數:

限制的性質

  • 映射 在其整個定義域 上的限制即是原函數,即
  • 對一個映射在限制兩次與限制一次效果相同,只要最終的定義域一樣。也就是說,若 ,則
  • 集合 上的恆等映射在集合 上的限制即是 包含映射[2]
  • 連續函數的限制是連續的。[3] [4]

應用

反函數

Thumb
定義域為 的函數 沒有反函數。若考慮 到非負實數的限制,則它有一個反函數,稱為平方根

若某函數存在反函數,其映射必為單射。若映射 非單射,可以限制其定義域以定義其一部分的反函數。如:

  

因為 ,故非單射。但若將定義域限制到 時該映射為單射,此時有反函數

  

(若限制定義域至 ,輸出 的負平方根的函數為反函數。)另外,若允許反函數為多值函數,則無需限制原函數的定義域。

粘接引理

點集拓撲學中的粘接引理聯繫了函數的連續性與限制函數的連續性。

設拓撲空間 的子集 同時為開或閉,且滿足 ,設 為拓撲空間。若映射 的限制都連續,則 也是連續的。

基於此結論,粘接在拓撲空間中的開或閉集合上定義的兩個連續函數,可以得到一個新的連續函數。

將函數的限制推廣到其他物件的限制。

層論中,拓撲空間的每個開集,有另一個範疇中的物件與之對應,其中要求滿足某些性質。最重要的性質是,若一個開集包含另一個開集,則對應的兩個物件之間有限制態射,即若,則有態射,且該些態射應仿照函數的限制,滿足下列條件:

  1. 的每個開集,限制態射上的恆等態射。
  2. 若有三個開集,則複合
  3. (局部性)若為某個開集開覆蓋,且滿足:對所有,則
  4. (黏合) 若為某個開集的開覆蓋,且對每個,給定截面,使得對任意兩個,都有在定義域重疊部分重合(即),則存在截面使得對所有

所謂拓撲空間上的,就是該些物件和態射組成的整體。若僅滿足前兩項條件,則稱為預層

引注

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