邊界 (拓撲學)

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此條目介紹的是拓撲學中的邊界。關於流形中的邊界，請見「流形」。

邊界，（英語：boundary），是點集拓樸的概念，拓撲空間 X 的子集 S 的邊界是從 S 和從 S 的外部都可以接近的點的集合。更嚴格的說，它是屬於 S 的閉包但不是 S 的內點的所有點的集合。S 的邊界的元素叫做 S 的邊界點（英語：boundary point）。集合 S 的邊界的符號包括 bd(S)、fr(S) 和 ，${\displaystyle \partial S}$。某些作者（比如 Willard 在 General Topology 中）使用術語「邊境」（frontier）而不用邊界來試圖避免混淆於代數拓撲學中使用的邊界概念。

集合（淺藍色）和它的邊界（深藍色）。

S 的邊界的連通單元叫做 S的邊界單元。

定義

拓撲空間${\displaystyle (X,\tau )}$的子集${\displaystyle S}$的邊界（記為${\displaystyle \partial S}$）有一些常用及等價的定義:

• ${\displaystyle S}$的閉包減去${\displaystyle S}$的內部：${\displaystyle \partial S={\bar {S}}-S^{o}}$。
• ${\displaystyle S}$的閉包和其補集的閉包的交集：${\displaystyle \partial S={\bar {S}}\cap {\overline {(X-S)}}}$。
• ${\displaystyle \partial S}$是所有滿足以下條件的點${\displaystyle x}$的集合：${\displaystyle x}$的每個鄰域都包含至少一個屬於${\displaystyle S}$的點，以及至少一個不屬於${\displaystyle S}$的點。這些點${\displaystyle x}$稱為${\displaystyle S}$的邊界點。

性質

• 集合的邊界是閉集。
• p 是某集合的邊界點，若且唯若所有 p 的鄰域包含至少一個點屬於該集合且至少一個點不屬於該集合。
• 某集合的邊界等於該集合的閉包和該集合的補集的閉包的交集。
• 某集合是閉集，若且唯若該集合的邊界在該集合中；某集合是開集，若且唯若該集合與其邊界不相交。
• 某集合的邊界等於其補集的邊界。
• 某集合的閉包等於該集合和其邊界的併集。
• 某集合的邊界為空，若且唯若該集合既是開集也是閉集(也就是閉開集)。

舉例

• 若 ${\displaystyle X=[0,5)\,}$，則 ${\displaystyle \partial X=\{0,5\}}$。
• ${\displaystyle \partial {\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)={\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)-B(\mathbf {a} ,r)}$
• ${\displaystyle \partial D^{n}\simeq S^{n-1}}$
• ${\displaystyle \partial \emptyset =\emptyset }$
• 在 R³ 中，若 Ω=x²+y² ≤ 1且Z=0，則 ∂Ω = Ω；但在 R² 中，∂Ω = {(x, y) | x²+y² = 1}。所以，集合的邊界依賴其背景空間。

引用

• J. R. Munkres. Topology. Prentice-Hall. 2000. ISBN 978-0-13-181629-9.
• S. Willard. General Topology. Addison-Wesley. 1970. ISBN 978-0-201-08707-9.