閉開集

在拓撲學中，閉開集（英語：Clopen set）是拓撲空間中既是開集又是閉集的集合。雖然既「開」又「閉」的定義有些反直覺，但數學上開集與閉集的定義並不互斥。

如同拓撲學家詹姆士·雷蒙·芒克勒斯在他的書中所描述的，集合和門不同的是，「集合可以是打開的(open)，也可以是闔上的(closed)，或者既打開又闔上，又或是既不打開又不闔上！」^[1]強調現實中門的開閉與集合的開閉定義無關。

例子

• 對任何拓撲空間${\displaystyle X}$，空集和整個空間${\displaystyle X}$都是閉開集，有時稱它們為平凡閉開集。
• 存在非平凡閉開集。例如，離散空間的任意子集都是閉開集。
• 考慮由兩個區間${\displaystyle [0,1]}$和${\displaystyle [2,3]}$的併集構成的空間${\displaystyle X}$。在${\displaystyle X}$上的拓撲是從實直線${\displaystyle \mathbb {R} }$上的正常拓撲繼承來的子空間拓撲。在${\displaystyle X}$中，集合${\displaystyle [0,1]}$和${\displaystyle [2,3]}$都是閉開集。這是非常典型的例子：只要空間是由有限數目個不相交連通單元以這種方式構成的，這些單元就是閉開集。
• 不太常見的例子，考慮所有有理數的空間${\displaystyle \mathbb {Q} }$帶有它們的正常拓撲，和平方大於2的所有正有理數的集合${\displaystyle A}$。利用${\displaystyle {\sqrt {2}}}$不在${\displaystyle \mathbb {Q} }$中的事實，可以非常容易的證明${\displaystyle A}$是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的閉開子集。（還要注意${\displaystyle A}$不是實直線${\displaystyle \mathbb {R} }$的閉開子集；它在${\displaystyle \mathbb {R} }$中既不是開集也不是閉集。）

性質

• 拓撲空間${\displaystyle X}$連通若且唯若${\displaystyle X}$中僅有的閉開集是空集和${\displaystyle X}$本身。
• 集合是閉開集，若且唯若它的邊界是空的。
• 任何閉開集是（可以無限多）連通單元的併集，它的逆命題不成立，因為連通單元一般不是開集。
• 如果${\displaystyle X}$的所有連通單元是開集（例如，如果${\displaystyle X}$只有有限多個單元，或者${\displaystyle X}$是局部連通的），則集合是${\displaystyle X}$中的閉開集，若且唯若它可以表示為連通單元的併集。
• 拓撲空間${\displaystyle X}$是離散的，若且唯若所有它的子集都是閉開集。
• 使用併集和交集作為運算，給定拓撲空間${\displaystyle X}$的閉開子集形成一個布爾代數。「所有」布爾代數都可以按這種方式從適合的拓撲空間獲得：參見Stone布爾代數表示定理。

參見

• 開集
• 閉集
• 門空間

註解

1. James R. Munkres. Topology (second edition). United States of America: Pearson. 2017-03-10: 93. ISBN 9780134689517 （英語）.

參考文獻

• James R. Munkres