扭對稱向量空間
維基百科,自由的 encyclopedia
數學中,一個辛向量空間是帶有辛形式 ω 的向量空間 V,所謂辛形式即一個非退化斜對稱的雙線性形式。
確切地說,一個辛形式是一個雙線性形式 ω :V × V → R 滿足:
- 斜對稱:ω(u, v) = −ω(v, u),對所有 u, v ∈ V 成立;
- 非退化:如果 ω(u, v) = 0 對所有 v ∈ V 成立,那麼 u = 0 。
取定一組基,ω 能表示為一個矩陣。以上兩個條件表明這個矩陣必須是斜對稱非奇異矩陣。這不同於下面將介紹的辛矩陣,辛矩陣表示空間的一個辛轉換。
如果 V 是有限維的那麼維數必須為偶數,因為每個奇數階斜對稱矩陣的行列式為 0。
非退化斜對稱雙線性形式和非退化「對稱」雙線性形式,比如歐幾里得向量空間的內積,的表現非常不同。歐幾里得內積 g,對任何非零向量 v,均有 g(v,v) > 0 成立;但是一個辛形式 ω 滿足 ω(v,v) = 0 。