超濾子

在數學領域集合論中，在集合 X 上的超濾子是作為極大濾子的 X 子集的搜集。超濾子可以被認為是有限可加性測度。那麼 X 的所有子集要麼被認為是「幾乎所有」（有測度 1）要麼被認為是「幾乎沒有」（有測度 0）。如果 A 是 X 的子集，則要麼 A 要麼 X\A 是超濾子的元素（這裏 X\A 是 A 在 X 中的相對補集；就是說，X 的不在 A 中的所有元素的集合）。這個概念可以被推廣到布林代數甚至是一般偏序，並在集合論、模型論和拓撲學中有很多應用。

集合{1,2,3,4}的冪集格。其中，上閉集合 ↑{1,4}被塗成黃色。它是一個主濾子，但不是一個超濾子，因為它能夠通過增加淺綠色元素而擴展為一個非平凡的濾子↑{1}。而由於↑{1} 無法再被進一步擴展，它是一個超濾子

形式定義

給定集合 X，X 的子集族 U 稱為 X 上的超濾子，若U滿足：

1. ∅ ∉ U。
2. ∀ A ∈ U, B ⊆ X，若A ⊆ B，則B ∈ U。
3. ∀ A, B ∈ U，A ∩ B ∈ U。
4. ∀ A ⊆ X，X\A ∈ U 與 A ∈ U 兩者之一成立。(性質1,3已保證 X\A ∈ U，A ∈ U 不能同時成立)

相關結論

下列定理給出超濾子和濾子的特徵：在集合 X 上一個濾子 U 是超濾子，若下列條件之一成立：

1. U是最大的濾子：∀X上的濾子F，F ⊆ U。
2. A ∪ B ∈ U ⇒ A ∈ U 或 B ∈ U。
3. ∀A ⊆ X，則要麼 A ∈ U 要麼 X - A ∈ U。

查看集合 X 上超濾子的另一種方式是定義在 X 的冪集上一個函數 m，設置 m(A) = 1 如果 A 是 U 的元素，否則 m(A) = 0。那麼 m 是在 X 上的有限可加性測度，而 X 的元素的所有性質要麼是幾乎處處為真要麼是幾乎處處為假。注意這不定義要求「可數可加性」的平常意義上的測度。

對於不是超濾子的濾子 F，可以說 m(A) = 1 如果 A ∈ F，並且 m(A) = 0 如果 X - A ∈ F，留着 m 在其他地方未定義。

完備性

在一個集合上的超濾子 U 的完備性是最小基數 κ 使得有 κ 個 U 的元素它們的交集不在 U 中。這個定義蘊涵了任何超濾子的完備性至少是 ${\displaystyle \aleph _{0}}$。其完備性大於 ${\displaystyle \aleph _{0}}$ 的超濾子，就是說 U 的元素的任何可數搜集的交集仍在 U 中，被稱為可數完備的或 ${\displaystyle \sigma }$-完備的。

可數完全超濾子的完備性總是可測基數。

推廣到偏序

在序理論中，超濾子是偏序集合(poset)的子集，它在所有真濾子中是極大的。形式的說，這聲稱了包含超濾子的任何濾子都必須等於整個偏序集合。這個概念的一個重要特殊情況出現在考慮的偏序集合是布林代數的時候，因為在這種情況下超濾子在集合上（定義為相應冪集上的濾子）。在這種情況下，超濾子可以被特徵化為，對布林代數的每個元素 a 精確的包含元素 a 和 ¬a 中的一個。(後者是 a 的布林補元)。

在布林代數上的超濾子可以通過質理想、極大理想確定，並同態於兩元素布林代數 {true, false}：

• 布林代數的極大理想同於質理想。
• 給定一個布林代數到 {true, false} 的同態，「真」的逆像是超濾子，而「假」的逆像是極大理想。
• 給定布林代數的一個極大理想，它的補集是超濾子，並有唯一一個到 {true, false} 的同態，把極大理想映射到「假」。
• 給定布林代數的一個超濾子，它的補集是極大理想，並有唯一一個到 {true, false} 的同態，把超濾子映射到「真」。

我們看可以用做「超濾子」概念的定義的另一個定理。設 B 指示布林代數而 F 是其中的真濾子^{[註 1]}。F 是超濾子當且僅當：

對於所有 ${\displaystyle a,b\in \mathbf {B} }$，如果 ${\displaystyle a\vee b\in F}$，則 ${\displaystyle a\in f}$ 或 ${\displaystyle b\in f}$

（避免混淆：這裏使用符號 ${\displaystyle \vee }$ 來指示布林代數的運算，用口語描述邏輯連結詞。）詳情（和證明）可參見：^[1]

超濾子的類型和存在性

有兩種非常不同類型的超濾子：主要的和自由的。主要（或固定或平凡）的超濾子是包含最小元的濾子。因此主超濾子有形式 F_a={x | a≤x} 對於給定偏序集合的某些(但非全部)元素 a。在這種情況下 a 被稱為超濾子的「軸元素」。對於濾子在集合上的情況，有資格成為軸元素的精確的是一元素集合。因此在集合 S 上的主超濾子由包含 S 的特定點的所有集合構成。在有限集合上的超濾子是主要的。不是主要的任何超濾子叫做自由（或非主要）超濾子。

可以證明所有濾子（或更一般的說，帶有有限交集性質的任何子集）都包含在一個超濾子中（參見超濾子引理）並且自由超濾子因而存在，但是這個證明涉及佐恩引理形式的選擇公理。因此不能給出自由主濾子的明確例子。經管如此，在無限集合上的幾乎所有超濾子都是自由的。相反的，在有限偏序集合（或在有限集合上）的所有超濾子都是主要的，因為任何有限濾子都最小元素。

應用

在集合上的超濾子應用於拓撲學特別是聯繫於緊緻郝斯多夫空間，和模型論中超乘積的構造。在緊緻郝斯多夫空間上的所有超濾子會聚到精確的一個點。類似的，在偏序集合上超濾子是非常重要的，如果這個偏序集合是布林代數，因為這種情況下超濾子同一於素濾子。這種形式的超濾子在Stone布林代數表示定理中扮演中心角色。

在偏序集合 P 上所有超濾子 G 可以按自然方式來拓撲化，這實際上密切關聯於上述表示定理。對於 P 的任何元素 a，設 D_a = { U ∈ G | a ∈ U }。這是在 P 還是布林代數時最有用的，因為在這種情況下所有 D_a 的集合是在 G 上的緊緻郝斯多夫拓撲的基。特別是，在考慮在集合 S 上的超濾子的時候（就是說 P 是 S 的冪集並按集合包含排序），結果的拓撲空間是勢為 |S| 的離散空間的斯通-切赫緊化。

在模型論中的超乘積構造使用超濾子來生成結構的基本擴張。例如，在構造超實數為實數的超乘積中，我們首先把論域從實數擴展到實數序列。這個序列空間被當作實數的超集，通過用對應的常數序列來識別每個實數。要把熟悉的函數和關係（比如 + 和 <）從實數擴展到超實數，自然的想法是逐點的定義它們。但是這會丟失實數的重要邏輯性質；比如逐點 < 不是全序。所以我們轉而「逐點模 U」的定義函數和關係，這裏的 U 是在序列的索引集上的超濾子；通過Łoś定理，這保持了實數可以用一階邏輯陳述的所有性質。如果 U 是非主要的，則從而獲得的擴展是非平凡的。

註釋

1. 就是說，濾子 F 帶有額外的限制 ${\displaystyle 0\notin F}$，也就是說，不退化到同一於整個布林代數（的全集）。

參考文獻

1. A Course in Universal Algebra （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） (written by Stanley N. Burris （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） and H.P. Sankappanavar), Corrolary 3.13 on p. 149.