數學上,超積(英語:ultraproduct)是常見於抽象代數和數理邏輯(尤其模型論和集合論)的構造。超積是一族無窮多個結構之直積的商結構,不過要求該族結構具有相同的表徵。超冪(英語:ultrapower)則是超積中各因子為同一個結構的特殊情況。
舉例,給定一個域,可以用超冪構造出新的域。超實數域便是實數域的超冪之一。
超積有一些出奇的應用。用超積,可以寫出緊緻性定理與完備性定理的優雅證明。開斯勒的超冪定理,從代數角度刻劃了「初等等價」此種語義概念。亞伯拉罕·魯濱遜和埃利亞斯·扎孔(Elias Zakon)用超結構及其單同態的表示來構造分析的非標準模型,使非標準分析理論得以發展。魯濱遜正是用緊致性定理開拓此分支。
超積的一般定義中,先選定指標集、對應每個下標的結構(具相同的表徵),以及上的超濾子。通常僅考慮為無窮集,且不為主超濾子的情況,即的元素有齊的全部餘有限子集,但無任何有限子集。原因是,在主超濾子的情況下,所得的超積只會與其中一個因子同構,並無新的性質。
笛卡兒積
上的代數運算,是逐點計。例如,對於二元運算,。然後,在笛氏積上,定義等價關係,使當且僅當
(應當理解為「與在大多數位置相等」)。
最後,所得的超積,是模的商集。所以,該超積有時記為
另一種看法是,在指標集上,定義一個有限可加的測度(弱於一般可數可加的條件),僅取二值,若則稱,否則稱。然後在笛氏積中,兩個元素若在幾乎每個下標處皆相等,則視為等同。超積是如此生成的等價類的集合。
其他關係同理可作引申:
其中表示模所屬的等價類。
特別地,若每個皆為有序域,則所得的超積亦然。
所謂超冪,意思是所有因子皆相等的超積:
也可以推廣到不為超濾子,而僅為上普通一個濾子的情況。此時所得的模型稱為約化積(英語:reduced product)。
沃希定理(英語:Łoś's theorem),又稱超積基本定理,由耶日·沃希所證(波蘭語發音:[ˈjɛʐɨ ˈwɔɕ])。定理斷言,任何一條一階邏輯式在超積中為真,當且僅當使該公式在中成立的指標的集合,是的元素。後一個條件,可以直觀理解為「大多數」皆認為該公式為真。嚴謹敍述如下:
設有表徵,指標集,其上的超濾子,且對每個,有結構。又設為關於之超積,即。則對任意個多元組,其中,以及對任意公式,
定理對公式的複雜度歸納得證。為超濾子(而不僅是濾子)的性質,在加入否定的一步用到。而在加存在量詞的一步,要用到選擇公理。應用定理可得超實域的轉移原理。
設為結構上的一元關係,並構造的超冪。則集合在超冪中有對應的子集,而在中,對量化且為真的一階公式,將換成後,仍在超冪中成立。例如,設為實數集。設表示「為有理數」。則在中,對每對有理數,總有無理數介於兩者之間。即:
既然有理數集此一性質可以寫成一階命題,沃希定理推出,超有理數集仍有同一性質,即任意兩個超有理數之間,有一個不為超有理數的超實數(「超無理數」)。更一般地,超有理數集與有理數集具有完全一樣的一階性質。
然而,考慮實數的阿基米德性質,即不存在實數同時滿足此列無窮多條不等式。阿基米德性質無法用一階邏輯表示,所以,沃希定理不適用於此性質,不能推導出超實數滿足阿基米德性質。正好相反,超實數不滿足阿基米德性質,例如前一節構造的超實數,就比都要大。