存在量化

在謂詞邏輯中，存在量化是對論域內至少一個成員的性質或關係的論斷。在符號邏輯中，存在量詞「∃」是用來指示存在量化的符號。

「∃」重新導向至此。關於倒轉的字母E，請見「Ǝ」。關於日語中的片假名，請見「ヨ」。

它相對於聲稱某些謂詞對所有事物都為真的全稱量化。

基礎

要表達「某些自然數自乘得25」這個命題，一種方式是：

${\displaystyle 0\times 0=25}$，或${\displaystyle 1\times 1=25}$，或${\displaystyle 2\times 2=25}$，或${\displaystyle 3\times 3=25}$，以此類推。

因為使用了「或」一詞，這看上去是邏輯析取。然而形式邏輯中的析取概念卻不能表達出「以此類推」一詞的含義，因此該命題並不能在形式邏輯中解讀。

因此將該命題改述為

存在自然數${\displaystyle n}$，${\displaystyle n\times n=25}$。

也可表達為

對於某些自然數${\displaystyle n}$，${\displaystyle n\times n=25}$。

這便是一個使用存在量化的單一命題。該命題比原命題更精確，因為「以此類推」一詞想表示的是要包括所有的自然數、且除此之外不包括任何其它內容，但語言中並沒有明確地陳述這點，這便是「以此類推」一詞不能被形式地解釋的根本原因。

這個新命題為真，因為5是自然數，而當把5代入${\displaystyle n}$時，可以得到${\displaystyle 5\times 5=25}$。儘管大多數自然數${\displaystyle n}$都不滿足${\displaystyle n\times n=25}$，但存在至少一個解足以舉證存在命題為真。反之，「存在偶數${\displaystyle n}$，${\displaystyle n\times n=25}$」為假，因為一個偶數解也不存在。

然而，「存在奇數${\displaystyle n}$，${\displaystyle n\times n=25}$」為真，因為5是奇數。這演示了論域的重要性——確定變量n的取值範圍。限制存在量化的論域要使用邏輯合取。例如「存在奇數${\displaystyle n}$，${\displaystyle n\times n=25}$」邏輯等價於「存在自然數${\displaystyle n}$，${\displaystyle n}$是奇數且${\displaystyle n\times n=25}$」。這裏的「且」構造出了邏輯合取。

在符號邏輯中，使用存在量詞「∃」（反寫的無襯線體的字母"E"）來表示存在量化。所以如果${\displaystyle P(a,b,c)}$是謂詞「${\displaystyle a\times b=c}$」，而${\displaystyle \mathbb {N} }$則是自然數集，那麼有

${\displaystyle \exists {n}{\in }\mathbb {N} \,P(n,n,25)}$

表示的是真命題「存在自然數${\displaystyle n}$，${\displaystyle n\times n=25}$」。

類似的，如果${\displaystyle Q(n)}$是謂詞「${\displaystyle n}$是偶數」，那麼有

${\displaystyle \exists {n}{\in }\mathbb {N} \,{\big (}Q(n)\;\!\;\!{\wedge }\;\!\;\!P(n,n,25){\big )}}$

表示的是假命題「存在自然數${\displaystyle n}$，${\displaystyle n}$是偶數且${\displaystyle n\times n=25}$」。

引用

• Hinman, P. Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. 2005. ISBN 978-1-56881-262-5.

參見

• 全稱量化（∀，for all）
• 量化 (數理邏輯)