等冪求和,即法烏爾哈貝爾公式(英語:Faulhaber's formula),是指求冪數相同的變數之和
。
常見公式
- 三角形數:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485ffc9f1e3f5af51d5830548dc4dbd6484c45bd)
- 正方形數:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ba3c440faf30490510f419013d04acf4ba86a8)
- 調和級數:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\,{\frac {1}{n}}\;=\;\ln k+\gamma +\varepsilon _{k}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aabb41f071311c987c87710fb7e9bee1bfe6315)
一般數列的等冪和
自然數等冪和
[1]
[1]
[1]
[1]
[1]
[1]
,其中
,
,當m−k為大於1的奇數時,
。
[2],其中
是伯努利數。
[3]
奇數等冪和與偶數等冪和
多項式求和
伯努利數也通用於等差數列的等冪和。[4]
也可以利用帕斯卡矩陣,把多項式的和寫成矩陣相乘。
[5]
[6]
[7]
- 其中
![{\displaystyle \Delta p(n)=p(n+1)-p(n)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85dbd274733b76cfa698eeefcb0cfa65128e434)
也可以將數列表達成組合數然後利用朱世傑恆等式求和。
[8]
多項式根的等冪和
牛頓公式
[9]
組合公式
取
![{\displaystyle \displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}={\frac {3(3-1)!}{3!}}(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{3}+{\frac {3(1+1-1)!}{1!1!}}(x_{1}+x_{2}+x_{3})(-x_{1}x_{2}-x_{1}x_{3}-x_{2}x_{3})+{\frac {3(1-1)!}{1!}}(x_{1}x_{2}x_{3})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd7d3bb9a1b6d7328b6a6ed1d163289a5cb032b)
![{\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{3}-3(x_{1}+x_{2}+x_{3})(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})+3(x_{1}x_{2}x_{3})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f23aa822381582e572977b7203f794ea79d28f19)
取
![{\displaystyle \displaystyle -x_{1}x_{2}x_{3}={\frac {1}{1^{3}3!}}(-x_{1}-x_{2}-x_{3})^{3}+{\frac {1}{1^{1}1!2^{1}1!}}(-x_{1}-x_{2}-x_{3})(-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2})+{\frac {1}{3^{1}1!}}(-x_{1}^{3}-x_{2}^{3}-x_{3}^{3})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb7ec0256e623d09cd2a2f7c5f882551db21093)
![{\displaystyle \displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}={\frac {1}{6}}(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{3}-{\frac {1}{2}}(x_{1}+x_{2}+x_{3})(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})+{\frac {1}{3}}(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28de2de2acb010c4b19110cd98734e355485c6e6)
參見
參考資料
李政豐. 連續整數冪次和公式的另類思考 (PDF). 《數學傳播》 (臺北市: 中央研究院數學研究所). 2002-06, 26 (2): 頁73–74,76 [2021-12-16]. (原始內容 (PDF)存檔於2021-12-16) (中文(臺灣)).
談祥柏. 伯努利数. 科學. 1999, (4) [2014-04-18]. (原始內容存檔於2019-06-10).
羅見今. 《垛积比类》内容分析. 內蒙古師範大學學報(自然科學漢文版). 1982, (1) [2015-03-29]. (原始內容存檔於2019-06-08).
陶家元. 高阶等差数列的前n项求和. 成都大學學報(自然科學版). 1999, (1) [2016-05-18]. (原始內容存檔於2020-01-15).
黃婷 車茂林 彭傑 張莉. 自然数幂和通项公式证明的新方法. 內江師範學院學報. 2011, (8) [2014-03-30]. (原始內容存檔於2020-02-12).
黃嘉威. 方幂和及其推广和式. 數學學習與研究. 2016, (7) [2016-05-17]. (原始內容存檔於2020-01-15).
田達武. 朱世杰恒等式及其应用. 數學教學通訊. 2009, (36) [2014-05-24]. (原始內容存檔於2020-01-15).