球面折射

球面折射的規律是多數光學鏡頭設計中的基本規律，因為許多複雜的光學鏡頭，都由一系列球面組成的。

光的球面折射

圖中PA 是一個球面，球心為O，半徑為r。光軸為AOBC 入射光線在P點與球面相交，入射線與球面的垂直線交角為i1，入射線的延長線與光軸相交於C，交角為U1； 折射線與光軸相交於B點，交角為U2。

AC=L1，AB=L2

在球面左邊介質的折射係數=N1，在球面右邊的介質的折射係數=N2

在入射線、垂直線、光軸形成的三角形OPC中，根據正弦定理

${\displaystyle {\frac {sin(i1)}{OC}}={\frac {sin(U1)}{r}}}$ 由於OC=L1-r

${\displaystyle {\frac {sin(i1)}{L1-r}}={\frac {sin(U1)}{r}}}$……………………(1)

在（折射線、垂直線、光軸），三角形OPB中，

${\displaystyle {\frac {sin(i2)}{OB}}={\frac {sin(U2)}{r}}}$

因OB=L2-r

${\displaystyle {\frac {sin(i2)}{L2-r}}={\frac {sin(U2)}{r}}}$……………………(2)

顯然 U1+i1=U2+i2…………………………………………(3)

又根據光的折射定律

sin(i1)*N1=sin(i2)*N2 …………………………………………(4)

方程組 1至 4 乃是最常用的球面折射的基本三角函數方程組 ^{[1][2][3] [4]}。

一些比較全面的光學設計專著指出，當球面的半徑很大時，r→無窮，式（1）、（2）不確定，需換其他公式^[5][6][7]

透鏡的光路計算

由球面系統組成的光線鏡頭的光路計算就是反覆運用球面折射的基本三角函數方程組，不加簡化，逐個球面追算光線與光軸的交角和像距。例如一個單透鏡包括兩個球面，需兩次運用球面折射的基本三角函數方程組。在電子計算機出現之前，多以 8至10位對數表和三角函數表進行手工計算^[8]。近代有多種光路計算的軟件。

近軸公式

從球面折射的基本三角函數方程組可以推得^[9]。

（L1-r)*sin(U1)*N1=(L2-r)*sin(U2)*N2…………………………（5）

當U1、U2很小，則

sin(U1)≈Ul

sin(U2)≈U2

這時 （5）式可簡化為

（L1-r)*U1*N1=(L2-r)*U2*N2…………………………（6）

令 ${\displaystyle U1={\frac {y}{L1}}}$

${\displaystyle U2={\frac {y}{L2}}}$

(6)式化簡為

${\displaystyle N1*{\frac {L1-r}{L1}}=N2*{\frac {L2-r}{L2}}}$

即：

${\displaystyle {\frac {N2}{L2}}-{\frac {N1}{L1}}={\frac {N2-N1}{r}}}$………………(7)^[10][11][12]。

參考文獻

1. Moritz von Rohr,p36
2. Conrady p6-10
3. 葉玉堂 肖俊 饒建珍等 第9-10頁
4. Warren J.Smith p26
5. Moritz von Rohr, p36-38
6. A.E.Conrady, p25--28
7. Rudolf Kingslake p24-27
8. Conrady p51-59
9. Conrady p27
10. Conrady p39-40
11. 葉玉堂等 第11頁
12. Moritz von Rohr p42

• Conrady Applied Optics and Optical Design, Dover亞歷山大·尤金·康拉迪《應用光學與光學設計》
• Moritz von Rohr, Geometrical Investigation of the Formation of Images Chapter II Computation of Rays Through a Syste of Refracting surfaces p36-42 莫里茲·馮·羅爾 《成像的幾何原理》第二章
• Warren J.Smith Modern Optical Engineering, McGraw Hill Books Co,1966
• 葉玉堂 肖俊 饒建珍等編著 《光學教程》第二版 清華大學出版社 2011 第9-10頁 ISBN 978-7-302-26270-1