在一維空間內,束縛於區域
內的一個粒子,其波函數是
;
其中,
是波數,
是角頻率,
是任意常數。
計算能夠使波函數歸一化的常數值
。將波函數代入:
。
積分於整個粒子存在的區域:
。
稍加運算,
。
歸一化的波函數是:
。
給予一個歸一化的波函數.隨着時間的變化,波函數也會改變.假若,隨着時間改變的波函數不再滿足歸一條件,則勢必要重新將波函數歸一化.這樣,歸一常數
變得含時間.很幸運地,滿足薛定諤方程式的波函數的歸一性是恆定的.設定波函數
滿足薛定諤方程式與歸一條件:
,
;
假若,歸一性是恆定的,則機率
不含時間。為了顯示這一點,先計算
:
。
展開被積函數
。
編排薛定諤方程式,可以得到波函數
對於時間的偏導數:
。
共軛波函數
對於時間的偏導數為
。
將
與
代入被積函數
。
代入
的方程式:
。
可是,在
,
與
都等於 0 .所以,
。
機率
不含時間。波函數的歸一化是恆定的。
- Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 12–14. ISBN 0-13-111892-7.