在數學中,武卡謝維奇邏輯(Łukasiewicz logic)是非經典、多值邏輯。它最初由揚·武卡謝維奇定義為叫做「三價邏輯」的三值邏輯[1];它後來被推廣為 n 值(對於所有有限 n)和無限多值變體,命題和一階都有[2]。它屬於t-規範模糊邏輯[3] 和亞結構邏輯[4]類。
實數值語義
無窮多值武卡謝維奇邏輯是實數值邏輯,其中來自命題演算的句子被指派上在 0 到 1 之間的任意精度的真值。求值有如下遞歸定義:
![{\displaystyle w(\theta \rightarrow \phi )=F_{\rightarrow }(\theta ,\phi )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbdf84636597b1f483eac8314a98b3417ffbbbc7)
![{\displaystyle w(\neg \theta )=F_{\neg }(\theta )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876d22cd7ab9b0055e7e49fbf3764e7f53cfecfb)
![{\displaystyle w(\theta \wedge \phi )=F_{\wedge }(\theta ,\phi )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0d5cf1f8a63dd739f93972f782c618f50f039f)
![{\displaystyle w(\theta \vee \phi )=F_{\vee }(\theta ,\phi )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc43c674d7b96379b2f795f59e5d2a12983895b4)
,
,
和
的值明確給出自:
![{\displaystyle F_{\wedge }(x,y)=Max\{0,x+y-1\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d82be395f8cc6d51065f05a3d38cd4a4f8ebcec5)
![{\displaystyle F_{\vee }(x,y)=Min\{1,x+y\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d31329a27f296aa8cdc5038882a20c99cd20c7d)
![{\displaystyle F_{\neg }(x)=1-x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d207802c6ab7841c4174de5844eb50adfe75a049)
![{\displaystyle F_{\rightarrow }(x,y)=Min\{1,1-x+y\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d76b839f71231ac5d6db1992e84d7b5f03de1a1e)
求值的性質
在這個定義下,求值滿足如下條件:
和
滿足
和
。
和
。
和
是連續性的。
和
在每個構成上是嚴格遞增的。
和
在如下意義上是結合性的:
對於每個
。
所以
和
都是連續t-規範的。
和
。
是連續的。
引用
Łukasiewicz J., 1920, O logice trojwartosciowej (Polish, On three-valued logic). Ruch filozoficzny 5:170–171.
Hay, L.S., 1963, Axiomatization of the infinite-valued predicate calculus. Journal of Symbolic Logic 28:77–86.
Hájek P., 1998, Metamathematics of Fuzzy Logic. Dordrecht: Kluwer.
Ono, H., 2003, "Substructural logics and residuated lattices — an introduction". In F.V. Hendricks, J. Malinowski (eds.): Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica, Trends in Logic 20: 177–212.