正一百二十胞體

幾何學中，正一百二十胞體是四維凸正多胞體，施萊夫利符號是{5,3,3}，有時候會視為正十二面體的四維類比。

正一百二十胞體 （120胞體）
類型	正多胞體
家族	正五邊形形、正十二面體形
對偶多胞形	正六百胞體
數學表示法
考克斯特符號 （英語：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	{5,3,3}
性質
胞	120 (5.5.5)
面	720 {5}
邊	1200
頂點	600
組成與佈局
頂點圖	(3.3.3)
對稱性
對稱群	H4, [3,3,5]，order14400
特性
凸集
閱 論 編

二維線架正投射

正一百二十胞體的邊界有120個正十二面體胞、720個正五邊形面、1200條邊和600個頂點。每一頂點有4個正十二面體、6個正五邊形、4條邊相接。每一條邊有3個正十二面體和3個正五邊形相接。

正一百二十胞體的對偶多胞體是正六百胞體。 正一百二十胞體的頂點圖是正四面體。

可視化

性質

正一百二十胞體的頂點圖是正四面體，棱圖是正三角形，若其棱長為a，則其超體積為${\displaystyle {\cfrac {15(105+47{\sqrt {5}})a^{4}}{4}}}$，表體積是(450+210√5)a³。其二胞角是144°，這意味着它不能獨自完成四維歐幾里得空間的堆砌，但戴維斯首先描述了四維雙曲空間的一種正一百二十胞體堆砌，這種存在於緊湊雙曲流形的堆砌有施萊夫利符號{5,3,3,5}。

若一個正一百二十胞體的棱長為1，則其外接超球的半徑為${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {{\sqrt {10}}+3{\sqrt {2}}}{2}}\approx 3.702459174\end{smallmatrix}}}$,其外中交超球（經過正一百二十胞體每條棱的中點的三維超球）半徑為${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {{\sqrt {15}}+2{\sqrt {3}}}{2}}\approx 3.668542481\end{smallmatrix}}}$，其內中交超球（經過正一百二十胞體每個面的中心）半徑為${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {\sqrt {10(29{\sqrt {5}}+65)}}{10}}\approx 3.603414649\end{smallmatrix}}}$,其內切超球半徑為${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {3{\sqrt {5}}+7}{4}}\approx 3.427050983\end{smallmatrix}}}$。

頂點坐標

如果以其中心為原點，正一百二十胞體600個頂點坐標是以下的全排列：

(0, 0, ±2, ±2)

(±1, ±1, ±1, ±√5)

(±φ-2, ±φ, ±φ, ±φ)

(±φ-1, ±φ-1, ±φ-1, ±φ2)

及以下的全偶排列：

(0, ±φ-2, ±1, ±φ2)

(0, ±φ-1, ±φ, ±√5)

(±φ-1, ±1, ±φ, ±2)

（φ是黃金分割，(1+√5)/2）

對稱群構造

正一百二十胞體與正六百胞體一樣具有H₄對稱群構造，對應施萊夫利符號{5,3,3}，Coxeter-Dynkin符號。擁有H_n對稱群的凸正多胞形屬於類五邊形形家族，這個家族在五維及以後就只有雙曲堆砌成員。

特殊結構

兩個互相「交織」（實是相鄰，交織是四維超球曲率導致的結果）的「大圓」

大圓結構

對於正一百二十胞體來說，其與其三維類比正十二面體的不同之處之一就是構成正一百二十面體的表面——正十二面體的對面是平行的，這意味着如果把正一百二十胞體當作超球面堆砌的話，會有10個胞以平行的對面首尾相接，構成大圓（這種大圓在不同方向上有12個）。（從這點中可以不用解析幾何求導就可以求出二胞角，它等於正十邊形的內角144°）。

分層結構

同時，我們也可以把其中一個上文所述的這種大圓當作「赤道」，以「緯度」把正一百二十胞體的胞分成9層，每層分別有1（北極）、12（北極圈）、20、12（北迴歸線） 、30（赤道）、12（南迴歸線）、20、12（南極圈）、1（南極）個胞，每兩層的仰角相差36°。

外部連結

• 120-cell （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） 正一百二十胞體的一些很好的2維投影
• Polytopes （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） 網頁中段有正一百二十胞體的很好的除去隱藏細節3維投影
• eusebeia.dyndns.org 逐層解剖了正一百二十胞體的表面分層結構
• Regular Convex Four-Dimensional Polytopes 提供了正一百二十胞體的部分幾何數據

其它參考

• 哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特, Regular Polytopes, 第三版, Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8.

四維正多胞體
正五胞體	超立方體	正十六胞體	正二十四胞體	正一百二十胞體	正六百胞體
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}