類五邊形形

在幾何學中，類五邊形形（Pentagonal Polytope）是一類存在於n維空間中的由H_n考克斯特群產生的正多胞形。這一家族由喬治·奧利舍夫斯基（英語：George Olshevsky）命名，因為二維類五邊形形就是正五邊形。它們可由其施萊夫利符號分為兩類，即 {5, 3^{n − 1}}（類十二面體形）和{3^{n − 1}, 5}（類二十面體形）。

家族成員

這一家族開始於一維多胞形，結束於n = 5 時的四維雙曲空間堆砌。

這裏有兩大類型的類五邊形形，即所謂類十二面體形和類二十面體形，也是以其三維成員命名的。這兩種類型的類五邊形形互為對偶。

類十二面體形

類十二面體正多胞形的全列表如下：

1. 線段，{ }
2. 正五邊形，{5}
3. 正十二面體，{5, 3}（12個正五邊形面）
4. 正一百二十胞體，{5, 3, 3}（120個正十二面體胞）
5. 三階正一百二十胞體堆砌（英語：120-cell honeycomb），{5, 3, 3, 3}：四維雙曲空間鑲嵌（∞個正一百二十胞體超胞）

每一個類十二面體正多胞形的維面都是前一維的類十二面體正多胞形。其頂點圖是前一維的正單純形。

類十二面體形

n	考克斯特群	皮特里多邊形 投影	名稱 考克斯特-迪肯符號（英語：Coxeter-Dynkin diagram） 施萊夫利符號	維面	元素
					頂點	棱	面	胞	4-胞
1	${\displaystyle H_{1}}$		線段 { }	2 點	2
2	${\displaystyle H_{2}}$		正五邊形 {5}	5 線段	5	5
3	${\displaystyle H_{3}}$		正十二面體 {5, 3}	12 正五邊形	20	30	12
4	${\displaystyle H_{4}}$		正一百二十胞體 {5, 3, 3}	120 正十二面體	600	1200	720	120
5	${\displaystyle {\bar {H}}_{4}}$		三階正一百二十胞體堆砌（英語：120-cell honeycomb） {5, 3, 3, 3}	∞ 正一百二十胞體	∞	∞	∞	∞	∞

類二十面體形

類二十面體正多胞形的全列表如下：

1. 線段，{ }
2. 正五邊形，{5}
3. 正二十面體，{3, 5}（20個正三角形面）
4. 正六百胞體，{3, 3, 5}（120個正四面體胞）
5. 五階正五胞體堆砌（英語：Order-5 5-cell honeycomb），{3, 3, 3, 5}：四維雙曲空間鑲嵌（∞個正五胞體超胞）

每一個類二十面體形的維面皆屬於該多胞形之維度少一維度之單純形。 它們的頂點圖是該類二十面體形少一維的類比。

類二十面體形

n	考斯特群	皮特里多邊形 投影	名稱 考克斯特符號（英語：Coxeter-Dynkin digram） 施萊夫利符號	維面	元素
					頂點	邊	面	胞	超胞
1	${\displaystyle H_{1}}$		線段 { }	2 頂點	2
2	${\displaystyle H_{2}}$		五邊形 {5}	5 邊	5	5
3	${\displaystyle H_{3}}$		正二十面體 {3, 5}	20 正三角形	12	30	20
4	${\displaystyle H_{4}}$		正六百胞體 {3, 3, 5}	600 正四面體	120	720	1200	600
5	${\displaystyle {\bar {H}}_{4}}$		五階正五胞體堆砌（英語：Order-5 5-cell honeycomb） {3, 3, 3, 5}	∞ 正五胞體	∞	∞	∞	∞	∞

註解

參考資料

• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
  • (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
• Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Table I(ii): 16 regular polytopes {p, q,r} in four dimensions, pp. 292–293)