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在數學中,格(英語:Lattice)是其非空有限子集都有一個上確界(稱為併)和一個下確界(稱為交)的偏序集合(poset)。格也可以特徵化為滿足特定公理恆等式的代數結構。因為兩個定義是等價的,格理論從序理論和泛代數二者提取內容。半格包括了格,依次包括海廷代數和布林代數。這些"格樣式"的結構都允許序理論和抽象代數的描述。
需要注意的是,本條目介紹的是序理論中的「格」,並非幾何與群論中的「格(群論)」(點陣),兩者的英文均為「lattice」。雖然在繼承自平面的次序中,每個點陣都是格,但是許多格不是點陣。[1]
考慮任意一個偏序集合(L,≤),如果對集合L中的任意元素a,b,使得a,b在L中存在最大下界和最小上界,則(L,≤)是一個格。(從此定義可看出,其並不要求如全序集合般的每二元素可比性,但仍要求每二元素有最大下界和最小上界)
這裏對於取a,b的最大下界的操作用表示;
對於取a,b的最小上界操作用 表示。
有界格有一個最大元素和一個最小元素,按慣例分別指示為1和0(也叫做頂和底)。任何格都可以通過增加一個最大元素和最小元素而轉換成有界格。
使用容易的歸納論證,你可以演繹出任何格的所有非空有限子集的上確界(併)和下確界(交)的存在。一個很重要的格的種類是完全格。一個格是完全的,如果它的所有子集都有一個交和一個併,這對比於上述格的定義,這裏只要求所有非空有限子集的交和併的存在。
另一種定義格的方式是將格定義為一種代數結構。一個格是一個代數結構,其中和是定義在集合上的二元運算,且對於所有的滿足:
從上述三個公理恆等式可以得出重要的:
冪等律: | , |
這些公理斷言了(L,)和(L,)都是半格。吸收律是唯一交和併都出現了的公理,把格同一對半格區別開來並確保這兩個半格正確的交互。特別是,每個半格都是另一個半格的對偶。「有界格」要求交和併都有一個零(neutral)元素,分別習慣叫做1和0。參見半格條目。
格與廣群家族有一些聯繫。因為交和併都符合交換律和結合律。格可以看作由有相同的承載者的兩個交換半群組成的。如果格是有界的,這些半群也是交換么半群。吸收律是特定于格理論的唯一定義恆等式。
L 閉包於交和併之下,通過歸納,蘊涵了L的任何有限子集的交和併的存在性,有着一個例外:空集的交和併分別是最大元素和最小元素。所以格只在它是有界的條件下包含所有有限(包含空)交和併。為此有些作者定義格的時候要求0和1是L的成員。而以這種方式定義格不損失一般性,因為任何格都可以被嵌入一個有界格中,這裏不併受這種定義。
格的代數解釋在泛代數中扮演根本性角色。
格的代數定義蘊涵了序理論的定義,反之亦然。
明顯的,序理論的格引發了兩個二元運算和。容易看出這些運算使(L, , )變成代數意義上的格。反之亦真:考慮代數定義的格(M, , )。現在定義在M上的偏序≤如下,對於M中的元素x和y
或等價的
吸收律確保了兩個定義實際上是等價的。你現在可以檢查以這種方式介入的關係≤定義了在其中二元交和併是通過最初運算和而給出的一個偏序。反過來,由得出自上述序理論公式的代數定義的格(L, , )引發的次序一致於L的最初次序。
因為格的兩個定義是等價的,你可以隨意調用任何定義的適合你用的方面。
在兩個格之間的適當的態射概念可以輕易的同上述代數定義得出。給定兩個格(L, , )和(M, , ),格的同態是一個函數f : L → M使得
所以f是兩個底層半格的同態。當考慮帶有更多結構的格的時候,這個態射也應當注意這個額外結構。所以在兩個有界格L和M之間的態射f還有下列性質:
在序理論公式中,這些條件只聲稱格的同態是保持二元交和併的一個函數。對於有界格,最小和最大元素的保持只是空集的併和交的保持。
格L的子格是L的非空子集,它是帶有同L一樣的交和併運算的格。就是說,如果L是一個格,而M是L的子集使得對於M中的所有元素對a, b有ab和ab在M中,則M是L的子格。[2]
格L的子格M是L的凸子格,如果x ≤ z ≤ y和x, y在M中蘊涵了z屬於M,對於在L中的所有元素x, y, z。
設是含有格中的元素以及符號的邏輯命題,令是將中的替換為,將替換為,將替換為,將替換為後所得到的命題。則稱是的對偶命題。
設是含有格中的元素以及符號的邏輯命題,若對於一切格為真,則的對偶命題也對於一切格為真。
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Free lattices are discussed in the following title, not primarily devoted to lattice theory:
The standard textbook on free lattices:
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