極小多項式

此條目介紹的是抽象代數中的概念。關於線性代數中旳類似概念，請見「極小多項式 (線性代數)」。

在抽象代數中，一個域上的代數元 ${\displaystyle \alpha }$ 之極小多項式（或最小多項式）是滿足 ${\displaystyle P(\alpha )=0}$ 的最低次首一多項式(多項式內最高次項之系數為1) ${\displaystyle P}$。此概念對線性代數與代數擴張的研究極有助益。

形式定義

設 ${\displaystyle k}$ 為一個域，${\displaystyle A}$ 為有限維 ${\displaystyle k}$-代數。對任一元素 ${\displaystyle \alpha \in A}$，集合 ${\displaystyle \{1,\alpha ,\alpha ^{2},\ldots \}}$ 張出有限維向量空間，所以存在非平凡的線性關係 ：

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}\alpha ^{i}=0\quad (c_{i}\in k)}$

可以假設 ${\displaystyle c_{n}=1}$，此時多項式 ${\displaystyle f(X):=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}}$ 滿足 ${\displaystyle f(\alpha )=0}$。根據多項式環裏的除法，可知這類多項式中只有一個次數最小者，稱之為 ${\displaystyle \alpha }$ 的極小多項式。

由此可導出極小多項式的次數等於 ${\displaystyle \dim _{k}k[\alpha ]}$，而且 ${\displaystyle \alpha }$ 可逆若且唯若其極小多項式之常數項非零，此時 ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$ 可以表成 ${\displaystyle \alpha }$ 的多項式。

矩陣的極小多項式

考慮所有 ${\displaystyle n\times n}$ 矩陣構成的 ${\displaystyle k}$-代數 ${\displaystyle M_{n}(k)}$，由於 ${\displaystyle \dim M_{n}(k)=n^{2}}$，此時可定義一個${\displaystyle n\times n}$ 矩陣之極小多項式，而且其次數至多為 ${\displaystyle n^{2}}$；事實上，根據凱萊-哈密頓定理，可知其次數至多為 ${\displaystyle n}$，且其根屬於該矩陣的特徵值集。

極小多項式是矩陣分類理論（若爾當標準型、有理標準形）的關鍵。

極小多項式與代數擴張

設 ${\displaystyle k'}$ 為 ${\displaystyle k}$ 的有限擴張，此時可視 ${\displaystyle k'}$ 為有限維 ${\displaystyle k}$-代數。根據域的性質，極小多項式必為素多項式。元素的跡數及範數等不變量可以從極小多項式的系數讀出。