截半二十面體

在幾何學中，截半二十面體是一種由正五邊形和正三角形組成的三十二面體^[1]，是一種阿基米德立體。其每個頂點都是2個三角形和2個五邊形的公共頂點、每條稜都是三角形和五邊形交稜，因此具有每個頂角相等和二面角相等的性質，因此截半二十面體是半正多面體也是擬正多面體。

截半二十面體

(按這裏觀看旋轉模型)
類別	半正多面體
對偶多面體	菱形三十面體
識別
名稱	截半二十面體
參考索引	U24, C28, W12
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	id
數學表示法
考克斯特符號 （英語：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\5\end{Bmatrix}}}$ r{5,3} t1{5,3}
威佐夫符號 （英語：Wythoff symbol）	2 | 3 5
康威表示法	aD
性質
面	32
邊	60
頂點	30
歐拉特徵數	F=32, E=60, V=30 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	正三角形 正五邊形
面的佈局 （英語：Face configuration）	20個{3} 12個{5}
頂點圖	3.5.3.5
對稱性
對稱群	Ih群
特性
quasiregular
圖像
3.5.3.5 （頂點圖） 菱形三十面體 （對偶多面體） （展開圖）
閱 論 編

性質

截半二十面體每個頂點都是2個三角形和2個五邊形的公共頂點，其頂點圖可以用 ${\displaystyle 3{.}5{.}3{.}5}$ 表示，也可以簡寫為 ${\displaystyle \left(3\,{.}\,5\right)^{2}}$ ^[2]。

截半二十面體每十條棱可以成為一個正十邊形，共有六個獨立的十邊形。而這六個獨立的十邊形也可以獨立地與立體中的三角形或五邊形單獨構成星形多面體。

體積與表面積

邊長為a的截半二十面體的表面積約為${\displaystyle 29.3059828a^{2}}$、體積約為${\displaystyle 13.8355259a^{3}}$，可由下列算式計算^[3]：

${\displaystyle A=\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5}}{\sqrt {3+4\phi }}\right)a^{2}}$ ${\displaystyle =\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 29.3059828a^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\left(14+17\phi \right)a^{3}={\frac {1}{6}}\left(45+17{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 13.8355259a^{3}.}$

二面角

截半二十面體是一種稜可遞的多面體，即每個稜、二面角以及組成二面角的兩個面和其他稜的組成都具相同的性質，因此其具有所有二面角相等的性質。截半二十面體的二面角為^[4]：

${\displaystyle \arccos {(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}})}\approx 142.62^{\circ }}$

頂點坐標

邊長為單位長且幾何中心位於原點的截半二十面體，其頂點坐標為^[5][6]：

${\displaystyle \left(0\,,0\,,\pm \varphi \right)}$^[7]

(±1/2, ±φ/2, ±1 + φ/2)^[7]

其中φ是黃金比例，值為${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$。

作法

將一個正十二面體或正二十面體進行截半變換即可得到一個截半二十面體，因此截半二十面體又稱截半十二面體，即截半與對偶截半等價。

正交投影

截半二十面體有四種具有特殊對稱性的正交投影，分別是頂點為中心、邊為中心、三角形面為中心以及五邊形面為中心。所述後者兩種正交投影，其對稱性對應於A₂ 和 H₂的考克斯特平面^[8]。

截半二十面體的正交投影

建立於	頂點	邊	三角形面	五邊形面
圖像
投影對稱性	${\displaystyle \left[2\right]}$	${\displaystyle \left[2\right]}$	[6]	[10]
對偶圖像

相關多面體及鑲嵌

相關多面體

有八種均勻的星形多面體以及2種複合多面體與截半二十面體有着相同的頂點排佈：

原始形狀	星形	截半二十面體	小二十面半十二面體[9]	小十二面半十二面體[9]
星形多面體		大截半二十面體	大十二面半十二面體	大二十面半十二面體
		十二合十二面體	小十二面半二十面體	大十二面半二十面體
複合多面體		五複合正八面體	五複合四面半六面體

截半二十面體是正二十面體經過截半變換後的結果，其他也是由正二十面體透過康威變換得到的多面體有：

正二十面體家族半正多面體

對稱群: [5,3]（英語：Icosahedral symmetry）, (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t0,1{5,3}	t1{5,3}	t0,1{3,5}	{3,5}	t0,2{5,3}	t0,1,2{5,3}	s{5,3}
半正多面體對偶
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

參見

• 正十二面體
• 正二十面體

參考文獻

1. Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, p. 137, 1987. ISBN 978-0486253572
2. Cundy, H. and Rollett, A. "Icosidodecahedron. (3.5)²." §3.7.8 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 108, 1989.
3. Weisstein, Eric W. (編). Icosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
4. Archimedean Solids: Icosidodecahedron. dmccooey.com. （原始內容存檔於2016-03-24）.
5. The Icosidodecahedron. eusebeia. [2016-08-30]. （原始內容存檔於2016-12-03）.
6. Weisstein, Eric W. (編). Icosahedral group. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
7. Klitzing, Richard. icosidodecahedron: o3x5o - id. bendwavy.org. [2016-08-30]. （原始內容存檔於2016-03-24）.
8. Coxeter Planes （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） and More Coxeter Planes （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） 約翰·史坦布里奇（英語：John Stembridge）
9. icosidodecahedron:Id-facetings. polyedergarten. [2016-08-30]. （原始內容存檔於2017-01-11）.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因, 截半二十面體 （參閱阿基米德立體） 於MathWorld（英文）
• Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra o3x5o - id. bendwavy.org.
• Editable printable net of an icosidodecahedron with interactive 3D view （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• The Uniform Polyhedra （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Virtual Reality Polyhedra （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） The Encyclopedia of Polyhedra