幾何中心

n 維空間中一個對象X的幾何中心或形心是將X分成矩相等的兩部分的所有超平面的交點。非正式地說，它是X中所有點的平均。如果一個物件質量分佈平均，形心便是重心。

三角形的中心

如果一個對象具有一致的密度，或者其形狀和密度具有某種對稱性足以確定幾何中心，那麼它的幾何中心和質量中心重合，該條件是充分但不是必要的。

有限個點總存在幾何中心，可以通過計算這些點的每個坐標分量的算術平均值得到。這個中心是空間中一點到這有限個點距離的平方和的唯一最小值點。點集的幾何中心在仿射變換下保持不變。

性質

一個凸對象的幾何中心總在其內部。一個非凸對象的幾何中心可能在外部，比如一個環或碗的幾何中心不在內部。

三角形的中心

形心是三角形的幾何中心，是指三角形的三條中線（頂點和對邊的中點的連線）交點^[1]。

三條中線共點證明

三條中線共點證明

用塞瓦定理逆定理可以直接證出：

${\displaystyle {\frac {BE}{EC}}\cdot {\frac {CF}{FA}}\cdot {\frac {AD}{DB}}={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{1}}=1}$

因此三線共點。^[2]

中心分每條中線比為2:1，這就是說距一邊的距離是該邊相對頂點距該邊的1/3。如右圖所示：

如果三角形是由均勻材料做成的薄片，那麼幾何中心也就是質量中心。它的笛卡爾坐標是三個頂點的坐標算術平均值。也就是說，如果三頂點位於${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$，${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$，和${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$，那麼幾何中心位於：

${\displaystyle {\Big (}{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{a}+x_{b}+x_{c}),\;{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(y_{a}+y_{b}+y_{c}){\Big )}={\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{a},y_{a})+{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{b},y_{b})+{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{c},y_{c})}$

中心分中線為2:1的證明

設三角形ABC的中線AD，BE和CF交於三角形的中心G，延長AD至點O使得

${\displaystyle AG=GO.\,}$

那麼三角形AGE和AOC 相似（公共角A，AO = 2 AG，AC = 2 AE），所以OC平行於GE。但是GE是BG的延長，所以OC平行於BG。同樣的，OB平行於CG。

從而圖形GBOC是一個平行四邊形。因為平行四邊形對角線互相平分，對角線GO和BC的交點使得GD = DO，這樣

${\displaystyle GO=GD+DO=2GD.\,}$

所以，${\displaystyle AG=GO=2GD\,}$，或${\displaystyle AG:GD=2:1\,}$，這對任何中線都成立。

性質

• 三角形的重心與三頂點連線，所形成的三個三角形面積相等。
• 頂點到重心的距離是中線的${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$。
• 外心${\displaystyle O}$、重心${\displaystyle G}$、九點圓圓心${\displaystyle F}$、垂心${\displaystyle H}$四點依次序共線，其中${\displaystyle OG:GF:FH=2:1:3}$，此線稱為歐拉線。
• 內心${\displaystyle I}$、重心${\displaystyle G}$、斯俾克心${\displaystyle S}$、奈格爾點${\displaystyle N}$四點依次序共線，其中${\displaystyle IG:GS:SN=2:1:3}$，此線稱為奈格爾線。
• 三角形的重心同時也是中點三角形的重心。
• 在直角座標系中，若頂點的座標分別為${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$、${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$、${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$，則重心的座標為：

${\displaystyle \left({\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}},{\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}}\right)}$

• 三線坐標中、重心的座標為：

${\displaystyle bc:ca:ab={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=\csc A:\csc B:\csc C}$

• 重心坐標中、重心的座標為：

${\displaystyle 1:1:1}$

• 三角形的重心的等截共軛點也是三角形重心自己。
• 三角形的重心的等角共軛點稱為類似重心。

四面體的中心

類似三角形的中心的結論對四面體也成立，四面體的幾何中心是所有頂點和相對平面中心的連線的交點。這些線段被中心分成3:1。這個結論能自然推廣到任何${\displaystyle n}$-維單形。如果單形的頂點集是${\displaystyle {v_{0},...,v_{n}}}$，將這些頂點看成向量，幾何中心位於：

${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}\;.}$

多邊形的中心

一個由N個頂點（x_i , y_i）確定的不自交閉多邊形的中心能如下計算：^[3]

記號（ x_N , y_N）與頂點（ x₀ , y₀）相同。多邊形的面積為：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})}$

多邊形的中心由下式給出：

${\displaystyle C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})}$

${\displaystyle C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{N-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})}$

有限點集的中心

給定有限點集 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}}$屬於${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$，它們的中心定義${\displaystyle C}$為

${\displaystyle C={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{k}}{k}}}$。

面積中心

面積中心和質量中心非常類似，面積中心只取決於圖形的幾何形狀。如果物體是均勻的，質量中心將位於面積中心。^[4]

對於兩部分組成的圖形，將有如下等式：

${\displaystyle {\overline {y}}={\dfrac {{\overline {y_{1}}}A_{1}+{\overline {y_{2}}}A_{2}}{A_{1}+A_{2}}}}$

${\displaystyle {\overline {y}}}$是特定部分的面積中心到所選參考系的距離。${\displaystyle A}$是特定部分的面積。

當一個複雜幾何圖形可以分成一些已知的簡單幾何圖形時，先計算各部分的面積中心，然後通過下面一般的公式計算整個圖形的面積中心：

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {\sum {\overline {x_{i}}}A_{i}}{\sum A_{i}}}}$

${\displaystyle {\overline {y}}={\frac {\sum {\overline {y_{i}}}A_{i}}{\sum A_{i}}}}$

這裏從y-軸到中心的距離是${\displaystyle {\overline {x}}}$，從x-軸到中心的距離是${\displaystyle {\overline {y}}}$，中心的坐標是${\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}})}$。

積分公式

一個平面圖形的中心的橫坐標（x軸）由積分

${\displaystyle C_{x}={\frac {\int xf(x)\;dx}{\int f(x)\;dx}}}$給出。

這裏f（x）是對象位於在橫坐標x點y軸上的長度，是在x圖形的測度。這個公式能由區域關於y-軸的第一矩得出。

這個過程等價於取加權平均。假設y-軸表示頻率，x-軸表示欲求平均值的變量，那麼沿着x-軸的中心即 ${\displaystyle {\bar {x}}}$。從而中心可以想像成表示特定形狀的許多無限小元的加權平均。

對任意維數n，由相同的公式得出${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中一個對象的中心第一個坐標，假設f (x)是對象在坐標x的截面（也就是說，對象中第一個坐標為x的所有點的集合）的（n-1）-維測度。

注意到分母恰是對象的n- 維測度。特別的，在f為正規時，即分母為1，中心也稱為f的平均。

當對象的測度為0或者積分發散，這個公式無效。

圓錐和稜錐的中心

圓錐或稜錐的中心位於連接頂點和底的中心的線段上，分比為3:1。

對稱中心

如果中心確定了，那麼中心是所有它對稱群的不動點。從而對稱能全部或部分確定中心，取決於對稱的種類。另外可以知道，如果一個對象具有傳遞對稱性，那麼它的中心是不確定的或不在內部，因為一個傳遞變換群沒有不動點。

地理中心

地理學中，地球表面一個區域的幾何中心也稱為地理中心。

參見

• 重心列表
• 帕普斯中心定理
• K-平均算法
• 中點
• 外心
• 內心
• 垂心
• 奈格爾點
• 類似中線
• 歐拉線
• 西瓦定理

參考文獻

1. 幾何原本ISBN 957-603-016-1
2. 幾何明珠ISBN 957-603-197-4
3. Calculating the area and centroid of a polygon. [2008-10-16]. （原始內容存檔於2008-10-16）.
4. Area Centroid. [2008-10-16]. （原始內容存檔於2008-10-20）.

外部連結

• Encyclopedia of Triangle Centers by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X (2).
• Triangle centers（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
• Characteristic Property of Centroid（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at cut-the-knot
• Barycentric Coordinates（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at cut-the-knot
• Online Tool to Compute Center of Mass bounded by f (x) and g (x) （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Interactive animations showing Centroid of a triangle（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） and Centroid construction with compass and straightedge（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）