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假說檢定的一種 来自维基百科,自由的百科全书
司徒頓t 檢驗(英語:Student's t-test)是指虛無假設成立時的任一檢驗統計有司徒頓t分佈的統計假設檢定,屬於參數統計。司徒頓t檢驗常作為檢驗一群來自正態分配總體的獨立樣本之期望值是否為某一實數,或是二(兩)群來自正態分配總體的獨立樣本之期望值的差是否為某一實數。舉個簡單的例子,在某個學校中我們可以從某個年級中隨機抽樣一群男生,以檢驗該年級男生與全校男生之身高差異程度是否如我們所假設的某個值。
司徒頓t檢驗是威廉·戈塞為了觀測釀酒品質於1908年所提出的,「司徒頓 (student)」則是他的筆名。[1][2][3][4] 基於克勞德·健力士(Claude Guinness)聘用從牛津大學和劍橋大學出來的最好的畢業生,[2]以將生物化學及統計學應用到健力士工業流程的創新政策,戈塞受僱於都柏林的健力士釀酒廠擔任統計學家。戈塞提出了t檢驗以降低啤酒重量監控的成本。戈塞於1908年在《Biometrika》期刊上公佈t檢驗,但因其老闆認為其為商業機密而被迫使用筆名,統計學論文內容也跟釀酒無關。實際上,其他統計學家是知道戈塞真實身份的。
常見的應用有:
大多數的t檢驗之統計量具有t = Z/s的形式,其中Z與s是已知資料的函數。Z通常被設計成對於對立假設有關的形式,而s是一個比例參數使t服從於t分佈。以單樣本t檢驗為例,,其中為樣本平均數,為樣本數,為總體標準差。至於s在單樣本t檢驗中為,其中為樣本的標準差。在符合零假說的條件下,t檢驗有以下前提:
檢驗虛無假設為一群來自正態分配獨立樣本xi之總體期望值μ為μ0可利用以下統計量
其中,為樣本平均數,為樣本標準差,n為樣本數。該統計量t在虛無假設:μ = μ0為真的條件下服從自由度為n − 1的t分佈。
配對樣本t檢驗可視為單樣本t檢驗的擴展,不過檢驗的對象由一群來自正態分配獨立樣本更改為兩配對樣本之觀測值之差。
若兩配對樣本x1i與x2i之差為di = x1i − x2i獨立且來自正態分配,則di之總體期望值μ是否為μ0可利用以下統計量
其中,為配對樣本差值之平均數,為配對樣本差值之標準差,n為配對樣本數。該統計量t在虛無假設:μ = μ0為真的條件下服從自由度為n − 1的t分佈。
若兩獨立樣本x1i與x2i具有相同之樣本數n,且來自兩個總體方差相同(同質方差假設)的正態分配,則兩總體之期望值差μ1 - μ2是否為μ0可利用以下統計量
其中,及為兩樣本各自的平均數,為樣本之共同方差。該統計量t在虛無假設:μ1 - μ2 = μ0為真的條件下服從自由度為2n − 2的t分佈。
若兩獨立樣本x1i與x2j具有不相同之樣本數n1與n2,且來自兩個總體方差相同(同質方差假設)的正態分配,則兩總體之期望值之差μ1 - μ2是否為μ0可利用以下統計量
其中,其中,及為兩樣本各自的平均數,為兩樣本共同之方差。該統計量t在虛無假設:μ1 - μ2 = μ0為真的條件下服從自由度為n1 + n2 − 2的t分佈。
若兩獨立樣本x1i與x2j具有相同或不相同之樣本數n1與n2,且兩者總體方差不相等(異方差假設)的正態分配,則兩總體之期望值之差μ1 - μ2是否為μ0可利用以下統計量
其中,其中,及為兩樣本各自的平均數,及分別為兩樣本之方差。該統計量t在虛無假設:μ1 - μ2 = μ0為真的條件下服從自由度為
之t分佈。這種方法又常稱為Welch檢驗。
模型假設:
其中xi,i = 1, ..., n為已知,α與β為未知系數,εi為殘差獨立且服從期望值0且方差σ2未知的正態分佈,yi,i = 1, ..., n為觀測值。我們可以檢驗迴歸系數β是否相等於特定的β0,通常使β0 = 0以檢驗xi對yi是否存在解釋能力,在此例(簡單線性迴歸模型)即為檢驗迴歸式之斜率是否為零。
令與為最小平方法之估計值,與為最小平方法估計值之標準誤差,則
在虛無假設為β = β0的情況下服從自由度為n − 2之t分佈,此檢驗統計量被稱作「t比率 (t-ratio)」,其中
由於 為殘差(即估計誤差),而 為殘差之離均平方和,我們可改寫t為
另請參閱:F檢驗
大多數的試算表軟件及統計軟件,諸如QtiPlot、OpenOffice.org Calc、LibreOffice Calc、Microsoft Excel、SAS、SPSS、Stata、DAP、gretl、R、Python ([1](頁面存檔備份,存於互聯網檔案館))、PSPP、Minitab等,都可以進行t檢驗運算。
程式語言/軟件程序 | 函數 | 註釋 |
---|---|---|
Microsoft Excel 2010 之前的版本 | TTEST(array1, array2, tails, type) |
參見 [2] |
Microsoft Excel 2010 及更高版本 | T.TEST(array1, array2, tails, type) |
參見 [3](頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) |
LibreOffice | TTEST(Data1; Data2; Mode; Type) |
參見 [4](頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) |
Google Sheets | TTEST(range1, range2, tails, type) |
參見 [5](頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) |
Python | scipy.stats.ttest_ind(a, b, axis=0, equal_var=True) |
參見 [6](頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) |
Matlab | ttest(data1, data2) |
參見 [7](頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) |
Mathematica | TTest[{data1,data2}] |
參見 [8](頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) |
R | t.test(data1, data2) |
|
SAS | PROC TTEST |
參見 [9] |
Java | tTest(sample1, sample2) |
參見 [10](頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) |
Julia | EqualVarianceTTest(sample1, sample2) |
參見 [11] |
Stata | ttest data1 == data2 |
See [12](頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) |
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