圓 (英語:circle )的第一個定義是:根據歐幾里得 的《幾何原本 》,在同一平面 內到定點
O
{\displaystyle O}
的距離等於定長
R
{\displaystyle R}
的點的集合[1] 。此定點
O
{\displaystyle O}
稱為圓心(center of a circle),此定長
R
{\displaystyle R}
稱為半徑(radius)。
Quick Facts 圓, 類型 ...
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圓的第二個定義是:平面內一動點到兩定點的距離的比,等於一個不為1的常數,則此動點的軌跡是圓[2] ;此圓屬於一種阿波羅尼奧斯圓 (circles of Apollonius)。
歷史
古代人最早是從太陽 、陰曆十五的月亮 得到圓的概念的。在一萬八千年前的山頂洞人 曾經在獸牙 、礫石 和石珠上鑽孔,那些孔有的就很像圓。[3] 到了陶器時代 ,許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個轉盤上製成的。[4] 當人們開始紡線,又制出了圓形的石紡錘 或陶紡錘 。古代人還發現搬運圓的木頭時滾着走比較省勁。後來他們在搬運重物的時候,就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾着走。[5]
約在6000年前,美索不達米亞 人,做出了世界上第一個輪子——圓型的木盤。[4] 大約在4000多年前,人們將圓的木盤固定在木架下,這就成了最初的車子。
古代埃及 人認為:圓,是神賜給人的神聖圖形。一直到兩千多年前中國的墨子 給圓下了一個定義:圓,一中同長也。意思是說:圓有一個圓心 ,圓心到圓周 上各點的距離(即半徑 )都相等。[4]
性質
解析幾何
直角坐標系 中的定義:
(
x
−
x
m
)
2
+
(
y
−
y
m
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-x_{m})^{2}+(y-y_{m})^{2}=r^{2}}
,其中r是半徑,
(
x
m
,
y
m
)
{\displaystyle (x_{m},y_{m})}
是圓心坐標。
參數方程 的定義:
x
=
x
m
+
a
cos
θ
{\displaystyle x=x_{m}+a\cos \theta }
,
y
=
y
m
+
a
sin
θ
{\displaystyle y=y_{m}+a\sin \theta }
。
極坐標 方程 的定義(圓心在原點):
r
=
a
{\displaystyle r=a}
。
圓心
圓是在同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合,這個定點叫做圓的圓心(通常用
O
{\displaystyle O}
表示)。[6]
弦
圓周上任何兩點相連的線段 稱為圓的弦 (英語:chord )。如圖2,
A
{\displaystyle A}
、
B
{\displaystyle B}
分別為圓上任意兩點,那麼
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
就是圓的弦 。
弧
圓周上任意兩點 間的部分叫做弧 (英語:arc ),通常用符號
⌢
{\displaystyle \frown }
表示。弧分為半圓、優弧、劣弧三種。[6]
直徑、半徑
直徑(英語:diameter ):經過圓心的弦 稱作直徑(用
d
{\displaystyle d}
表示)。[2]
半徑(英語:radius ):在圓中,連接圓心和圓上任意一點的線段叫做圓的半徑,半徑用字母
r
{\displaystyle r}
表示。
k
=
{
X
∈
E
∣
M
X
¯
<=
r
}
{\displaystyle k=\{X\in E\mid {}{\overline {MX}}<=r\}}
切線
假如一條直線與圓相交僅有一個交點,那麼稱這條直線是這個圓的切線 ,與圓相交的點 叫做切點。[2] 如下圖,直線
Q
P
¯
{\displaystyle {\overline {QP}}}
與圓只有一個交點
P
{\displaystyle P}
,那麼
Q
P
¯
{\displaystyle {\overline {QP}}}
就是圓的切線 。過圓上一點的切線:設該點為
P
(
x
o
,
y
o
)
{\displaystyle P(x_{o},y_{o})}
,圓的方程為
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}
,則圓在該點的切線方程為:
(
x
o
−
a
)
(
x
−
a
)
+
(
y
o
−
b
)
(
y
−
b
)
=
r
2
{\displaystyle (x_{o}-a)(x-a)+(y_{o}-b)(y-b)=r^{2}}
性質定理:圓的切線垂直於經過切點的半徑。
推論1:經過圓心且垂直於切線 的直線 必經過切點。
推論2:經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心。
割線
一條直線 與一條弧線有兩個公共點,這條直線是這條曲線的割線(英語:Secant Theorem )。[2] 如圖,直線
Q
O
¯
{\displaystyle {\overline {QO}}}
與圓有兩個公共點,那麼直線
Q
O
¯
{\displaystyle {\overline {QO}}}
就是圓的割線。
θ 的正割是從O到Q的距離。
周長
圓的一周的長度稱為圓的周長 (記作
C
{\displaystyle C}
)。圓的周長與半徑的關係是:
C
=
π
d
{\displaystyle C=\pi d}
或
C
=
2
π
r
{\displaystyle C=2\pi r}
,
其中
π
{\displaystyle \pi }
是圓周率 。
面積
圓的面積 與半徑的關係是:
A
=
π
r
2
{\displaystyle A=\pi r^{2}}
。
對稱性
圓既是軸對稱圖形 又是中心對稱圖形 ,圓的對稱軸為經過圓心
O
{\displaystyle O}
的任意直線 ,圓的對稱中心為圓心
O
{\displaystyle O}
。[6]
圓心角、圓周角
圖2:弦、圓周角、圓心角
圓心角:頂點 在圓心的角 叫圓心角,圓心角的度數等於它所對的弧的度數,公式表示為
θ
=
L
2
π
r
⋅
2
π
=
L
r
{\displaystyle \theta ={\frac {L}{2\pi r}}\cdot 2\pi ={\frac {L}{r}}}
。[a] [2] 如右圖,
M
{\displaystyle M}
為圓的圓心,那麼
∠
A
M
B
{\displaystyle \angle AMB}
為圓心角。
圓周角:頂點 在圓周上,角 兩邊和圓相交的角叫圓周角。如右圖,
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle ACB}
的頂點
C
{\displaystyle C}
在圓周上,
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle ACB}
的兩邊
A
C
¯
{\displaystyle {\overline {AC}}}
、
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {BC}}}
分別交在圓周上,那麼
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle ACB}
就是圓周角。
圓心角定理
同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弦 相等,所對的弧 相等,弦心距[b] 相等,此定理也稱「一推三定理」。[6]
圓周角定理
圓周角定理:同弧所對的圓周角等於它所對的圓心的角 的一半。[6]
如上圖,
M
{\displaystyle M}
為圓心,
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
分別為圓周上的點 ,那麼:
∠
A
M
B
=
2
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle AMB=2\;\angle ACB}
證明:
∵
B
M
=
C
M
,
A
M
=
C
M
{\displaystyle \because BM=CM,AM=CM}
∵
∠
B
C
M
=
∠
C
B
M
,
∠
A
C
M
=
∠
C
A
M
{\displaystyle \because \angle BCM=\angle CBM,\angle ACM=\angle CAM}
∴
∠
B
M
S
=
∠
B
C
M
+
∠
C
B
M
{\displaystyle \therefore \angle BMS=\angle BCM+\angle CBM}
∵
∠
A
M
S
=
∠
A
C
M
+
∠
C
A
M
{\displaystyle \because \angle AMS=\angle ACM+\angle CAM}
∴
∠
B
M
S
+
∠
A
M
S
=
2
(
∠
B
C
M
+
∠
A
C
M
)
{\displaystyle \therefore \angle BMS+\angle AMS=2(\angle BCM+\angle ACM)}
即:
∠
A
M
B
=
2
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle AMB=2\;\angle ACB}
圓周角定理的推論:
同弧或等弧 所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角 所對的弧是等弧。
半圓或直徑所對的圓周角是直角 ;圓周角是直角 所對的弧的半圓,所對的弦是直徑。
若三角形 一邊上的中線 等於這邊的一半,那麼這個三角形是直角三角形 。
垂徑定理
垂徑定理示意圖
垂徑定理是一種常用的幾何學 的定理 。
定理定義:垂直於弦的直徑 平分這條弦,並且平分弦所對的兩條弧 。[7]
知二推三
一條直線,在下列5條中只要具備其中任意兩條作為條件,就可以推出其他三條結論。稱為「知二推三」。
平分弦所對的優弧
平分弦所對的劣弧(前兩條合起來就是平分弦所對的兩條弧)
平分弦(不是直徑)
垂直於弦
經過圓心
推論
BE過圓心 O,AD=DC,則BE垂直AC並平分AC、AEC兩條弧。即「平分非直徑 的弦的直徑垂直於弦並平分弦所對的兩弧。」
AD=DC且BE垂直AC,則BE過圓心O且平分AC、AEC兩條弧。即「弦的垂直平分線過圓心且平分弦所對的兩弧。」
BE是直徑 ,
A
B
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}
(
A
E
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{AE}}}
)=
B
C
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}
(
C
E
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{CE}}}
),則BE過圓心O,
A
E
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{AE}}}
(
A
B
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}
)=
C
E
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{CE}}}
(
B
C
⌢
{\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}
)。即「平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦且平分弦所對的另一條弧。」
兩圓位置關係
兩個不同大小的圓(半徑分別為
r
{\displaystyle r}
及
R
{\displaystyle R}
,圓心距為
d
{\displaystyle d}
,其中
r
<
R
{\displaystyle r<R}
)之間的關係如下:[2]
d
=
0
{\displaystyle d=0}
:兩圓不相交(內含),互為同心圓 。
0
<
d
<
R
−
r
{\displaystyle 0<d<R-r}
:兩圓不相交(內含,亦稱「內離」)。
d
=
R
−
r
{\displaystyle d=R-r}
:兩圓相交於一點(內切),有1條共同切線。
d
=
R
+
r
{\displaystyle d=R+r}
:兩圓相交於一點(外切),有3條共同切線。
R
−
r
<
d
<
R
+
r
{\displaystyle R-r<d<R+r}
:兩圓相交於兩點,有2條共同切線。
d
>
R
+
r
{\displaystyle d>R+r}
:兩圓不相交(外離),有4條共同切線。
圓系方程
在解析幾何中,符合特定條件的某些圓構成一個圓系 ,一個圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。例如求半逕到直線距離的方程就可以叫圓系方程。[2]
在方程
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}
中,若圓心
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
為定點,
r
{\displaystyle r}
為參變數,則它表示同心圓 的圓系方程 。若
r
{\displaystyle r}
是常量,
a
{\displaystyle a}
(或
b
{\displaystyle b}
)為參變數,則它表示半徑相同,圓心在同一直線上(平行於
x
{\displaystyle x}
軸或
y
{\displaystyle y}
軸)的圓系方程。
過兩圓
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
=
0
{\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}=0}
與
x
2
2
+
y
2
2
+
D
2
x
+
E
2
y
+
F
2
=
0
{\displaystyle x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}=0}
交點的圓系方程為:
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
+
λ
(
x
2
2
+
y
2
2
+
D
2
x
+
E
2
y
+
F
2
)
=
0
(
λ
≠
−
1
)
.
{\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}+\lambda (x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2})=0\quad (\lambda \neq -1).}
過直線
A
x
+
B
y
+
C
=
0
{\displaystyle Ax+By+C=0}
與圓
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
=
0
{\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}=0}
交點的圓系方程為:
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
+
λ
(
A
x
+
B
y
+
C
)
=
0.
{\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}+\lambda (Ax+By+C)=0.}
過兩圓
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
=
0
{\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}=0}
與
x
2
2
+
y
2
2
+
D
2
x
+
E
2
y
+
F
2
=
0
{\displaystyle x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}=0}
交點的直線方程為:
x
1
2
+
y
1
2
+
D
1
x
+
E
1
y
+
F
1
−
(
x
2
2
+
y
2
2
+
D
2
x
+
E
2
y
+
F
2
)
=
0.
{\displaystyle x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}-(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2})=0.}
其他定義
橢圓 是平面 上到兩個固定點的距離之和為常數 的點之軌跡,橢圓的形狀可以用離心率 來表示;圓可以看作是一種特殊的橢圓,即當橢圓的兩個焦點 重合,離心率
ε
=
0
{\displaystyle \varepsilon =0}
的情況。
在三維空間 ,球面被設定為是在
R
3
{\displaystyle R^{3}}
空間中與一個定點距離為
r
{\displaystyle r}
的所有點 的集合,此處r是一個正的實數 ,稱為半徑,固定的點稱為球心或中心,並且不屬於球面的範圍。
r
=
1
{\displaystyle r=1}
是球的特例,稱為單位球。
在測度空間 中,圓的定義仍舊指距離一定點等距(在該測度下)的點的集合 。
其它
相關的立體圖形
截面 為圓的三維 形狀 有:
圓和其他平面形狀
當多邊形的每條邊固定,以有外接圓的圖形面積 最大。[8]
圓的問題
參考資料
註釋
L為扇形 弧 長,變形公式
L
=
r
⋅
θ
{\displaystyle L=r\cdot \theta }
資料
歐幾里得[原著]/燕曉東(譯). 几何原本. 南京: 江蘇人民出版社. 2014. ISBN 9787214067593 . 圓是一個在同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合,這個定點就是圓心。
圆的历史 . [2015-08-25 ] . (原始內容 存檔於2021-11-21).
J. Steiner, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze , J. reine angew Math.
18 , (1838), pp. 281–296; and Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer, Berlin, (1882).
參見
擴展閱讀
外部連結