在數學中,若一個二維平面上的多邊形的每條邊都能與其內部的一個圓形相切,該圓就是所謂的多邊形的內切圓,這時稱這個多邊形為圓外切多邊形。它亦是多邊形內部最大的圓形。內切圓的圓心被稱為該多邊形的內心。
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三角形的角平分線會相交於內切圓的圓心
一個多邊形至多有一個內切圓,也就是說對於一個多邊形,它的內切圓,如果存在的話,是唯一的。並非所有的多邊形都有內切圓。三角形和正多邊形一定有內切圓。擁有內切圓的四邊形被稱為圓外切四邊形。
三角形的內切圓
任何三角形
都有內切圓。這個內切圓的圓心稱為內心,一般標記為I,是三角形內角平分線的交點[1]。在三線坐標,內心是1:1:1。
性質
內切圓的半徑為
,當中
表示三角形的面積,a、b、c為三角形的三個邊長。
以內切圓和三角形的三個切點為頂點的三角形
是
的內接三角形之一。
的內切圓就是
的外接圓。而
、
和
三線交於一點,它們的交點就是熱爾崗點(Gergonne point)。內切圓與九點圓相切,切點稱作費爾巴哈點(見九點圓)。
若以三角形的內切圓為反演圓進行反演,則三角形的三條邊和外接圓會分別變為半徑相等的四個圓(半徑都等於內切圓半徑的一半)。[2]
三角形的外接圓半徑R、內切圓半徑r 以及內外心間距OI 之間有如下關係:
[3]
直角三角形兩股和等於斜邊長加上該三角形內切圓直徑
![{\displaystyle a+b=c+2r}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df39688d5bd5a1e7a62cd1fb6378a835b84c7f64)
由此性質再加上勾股定理
,可推得:
![{\displaystyle \triangle =r(r+c)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e45a215ac0ded74132548ef6aeabb36df7866822)
在直角座標系中,若頂點的座標分別為
、
、
,則內心的座標為:
[4]
四邊形的內切圓
不是所有的四邊形都有內切圓,擁有內切圓的四邊形稱為圓外切四邊形。凸四邊形ABCD有內切圓若且唯若兩對對邊之和相等:
。圓外切四邊形的面積和內切圓半徑的關係為:
,其中s 為半周長。
同時擁有內切圓和外接圓的四邊形稱為雙心四邊形。這樣的四邊形有無限多個。若一個四邊形為雙心四邊形,那麼其內切圓在兩對對邊的切點的連線相互垂直。而只要在一個圓上選取兩條相互垂直的弦,並過相應的頂點做切線,就能得到一個雙心四邊形。
正多邊形的內切圓
正多邊形必然有內切圓,而且其內切圓的圓心和外接圓的圓心重合,都在正多邊形的中心。邊長為a 的正多邊形的內切圓半徑為:
![{\displaystyle r_{n}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9e79c82696cee0e81abc2489f915df50943c5d)
其內切圓的面積為:
![{\displaystyle s_{n}=\pi r_{n}^{2}={\frac {\pi a^{2}}{4}}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd12a39a09047911606834e26eb4609d5ceebf54)
內切圓面積
與正多邊形的面積
之比為:
![{\displaystyle \varphi _{n}={\frac {s_{n}}{S_{n}}}={\dfrac {{\frac {\pi a^{2}}{4}}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}{{\frac {na}{2}}\left[{\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right]}}={\frac {\pi }{n}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9592ed5e8615ee30839a0d2de18e37ac3f5bf0a)
故此,當正多邊形的邊數
趨向無窮時,
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi _{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\pi }{n}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)=1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5dc7462547444fb12924fb1d82d2839265489f8)
參考文獻
參見