增廣矩陣

增廣矩陣，又稱廣置矩陣，是在線性代數中系數矩陣的右邊添上線性方程組等號右邊的常數列得到的矩陣，如：方程${\displaystyle AX=B}$系數矩陣為${\displaystyle A}$，它的增廣矩陣為${\displaystyle (A|B)}$。方程組唯一確定增廣矩陣，通過增廣矩陣的初等行轉換可用於判斷對應線性方程組是否有解，以及化簡求原方程組的解。

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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閱 論 編

使用範例

增廣矩陣通常用於判斷矩陣的有解的情況，下列${\displaystyle A}$為線性方程組的系數矩陣，${\displaystyle (A|B)}$為增廣矩陣：

• 若${\displaystyle \operatorname {rank} (A)<\operatorname {rank} (A|B)}$，方程組無解。
• 若${\displaystyle \operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A|B)=n}$，方程組有唯一解。
• 若${\displaystyle \operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A|B)<n}$，方程組無窮解。
• ${\displaystyle \operatorname {rank} (A)>\operatorname {rank} (A|B)}$不會發生，因為增廣矩陣的秩大於等於系數矩陣的秩。

對於如下方程組：

${\displaystyle {\begin{cases}x+2y+3z=0\\3x+4y+7z=2\\6x+5y+9z=11\end{cases}}}$

系數矩陣為：

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\end{bmatrix}},B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\end{bmatrix}}}$

增廣矩陣為：

${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\end{array}}\right]}$

參考資料

• 同濟大學數學系．工程數學線性代數（第五版）．北京市西城區德外大街4號：高等教育出版社，2011-11：P64．

參見

• 高斯消元法