四角錐柱

在幾何學中，四角錐柱是底面為四邊形的角錐柱，其可以視為將底面全等的四角錐與四角柱疊合所形成的立體，又稱為方尖碑（Obelisk）^[1]。若底面為正方形則稱為正四角錐柱，等邊的正四角錐柱是一種詹森多面體^[1]。四角錐柱具有9個面、16個邊、和9個頂點，每個四角錐柱皆為一個九面體。

正四角錐柱

類別	棱錐柱 詹森多面體 J7 - J8 - J9
對偶多面體	四角錐柱（自身對偶）
識別
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	esquipy
數學表示法
康威表示法	P4+Y4
性質
面	9
邊	16
頂點	9
歐拉特徵數	F=9, E=16, V=9 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	4個三角形 5個正方形
頂點佈局 （英語：Vertex_configuration）	4個(43) 1個(34) 4個(32.42)
對稱性
對稱群	C4v（英語：cyclic symmetries）, [4], (*44)
旋轉對稱群 （英語：Rotation_groups）	C4, [4]+, (44)
特性
凸、demi-regular
圖像
四角錐柱（自身對偶） （對偶多面體） （展開圖）
閱 論 編

詹森多面體

考慮一個正四角錐柱，若每一個面皆為正多邊形，則為92種詹森多面體（J₈）中的其中一個，也是角錐柱的一種，可由詹森多面體中的正四角錐與柏拉圖立體中的立方體於相等大小的正方形面接合而組成，這種立體又稱為側錐立方體（augmented cube）^[2]。詹森多面體是凸多面體，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森（英語：Norman Johnson (mathematician)）（Norman Johnson）命名並給予描述^[3]。

性質

正四角錐柱共由9個面、16條邊、和9個頂點組成^[4][5][2][6]。在其9個面中，有4個正三角形面和5個正方形面^[4]。在其9個頂點中，有3種頂點，分別是4個三角形的公共頂點，在頂點圖中可以用[3⁴]來表示^[7]，這種頂點有1個^[2]、另一種頂點為2個三角形和2個正方形的公共頂點，在頂點圖中可以用[3²,4²]來表示^[7]，這種頂點有4個^[2]、還有一種頂點是3個正方形的公共頂點，在頂點圖中可以用[4³]來表示^[7]，這種頂點有4個^[2]。

體積與表面積

若一個正四角錐柱邊長為${\displaystyle L}$，則其體積${\displaystyle V}$與表面積${\displaystyle A}$為：^[8]

${\displaystyle V=L^{3}\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{6}}\right)\approx L^{3}\cdot 1.23570226}$

${\displaystyle A=L^{2}\cdot \left(5+{\sqrt {3}}\right)\approx L^{2}\cdot 6.732050808}$

這樣的正四角錐柱整體的高${\displaystyle H}$為：

${\displaystyle H=L\cdot \left(1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\approx L\cdot 1.707106781}$

二面角

正四角錐柱共有3種二面角，分別為三角形和正方形的二面角、三角形和三方形的二面角以及正方形和正方形的二面角^[7]。其中正方形和正方形的二面角為直角，即90度角。^[7]

${\displaystyle \angle }$正方形${\displaystyle ,}$正方形${\displaystyle \,=90^{\circ }}$

而三角形和正方形的二面角為負根號三分之二的反餘弦值，約為144.7356度：^[7]

${\displaystyle \angle }$三角形${\displaystyle ,}$正方形${\displaystyle \,=\arccos \left(-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\right)\approx 2.52611294\approx 144.735610^{\circ }}$

三角形和三方形的二面角為負三分之一的反餘弦值，約為109.471度：^[7]

${\displaystyle \angle }$三角形${\displaystyle ,}$三方形${\displaystyle \,=\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 1.9106332\approx 109.471221^{\circ }}$

頂點座標

若一個正四角錐柱邊長為單位長，則其頂點座標為：^[9]

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,\,0,\,{\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\right)}$

對偶多面體

四角錐柱的對偶多面體為四角錐台錐，由4個三角形、1個正方形和4個梯形組成。

四角錐柱的對偶多面體	對偶多面體的展開圖

相關多面體

四角錐柱是以四邊形為底的角錐柱。^[1]以其他多邊形為底的角錐柱有：

稜錐柱體

二角錐柱	三角錐柱	四角錐柱	五角錐柱	六角錐柱	七角錐柱	...	圓錐柱

四角錐柱可以視為側錐四角柱，其為底面為四邊形之柱體對應的側錐柱體，其他的側錐柱體有：

側錐柱體

3	4	5	6	7
側錐三角柱	側錐四角柱	側錐五角柱	側錐六角柱	側錐七角柱

此外，正四角錐柱可以與正四面體共同填滿空間^[10]。

參見

• 詹森多面體
• 正方體
• 正四角錐

參考文獻

1. Weisstein, Eric W. (編). Elongated Square Pyramid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
2. Elongated square pyramid. polyhedra.tessera.li. [2022-09-07]. （原始內容存檔於2022-09-07）.
3. Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics（英語：Canadian Journal of Mathematics）, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8
4. David I. McCooey. Johnson Solids: Elongated Square Pyramid. [2022-09-07]. （原始內容存檔於2022-09-07）.
5. The Elongated Square Pyramid. qfbox.info. [2022-09-07]. （原始內容存檔於2022-10-05）.
6. V. Bulatov. elongated square pyramid. [2022-09-07]. （原始內容存檔於2022-05-22）.
7. Richard Klitzing. elongated square pyramid, esquipy. bendwavy.org. [2022-09-07]. （原始內容存檔於2022-11-14）.
8. Sapiña, R. Area and volume of the Johnson solid J₈. Problemas y Ecuaciones. [2020-08-28]. ISSN 2659-9899. （原始內容存檔於2020-09-30） （西班牙語）.
9. David I. McCooey. Data of Elongated Square Pyramid. [2022-09-07]. （原始內容存檔於2022-09-07）.
10. J8 honeycomb. woodenpolyhedra.web.fc2.com. [2022-09-07]. （原始內容存檔於2022-08-07）.