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葉狀結構
n维流形上的一类等价关系 / 維基百科,自由的 encyclopedia
微分幾何中,葉狀結構(foliation)是n-流形上的等價關係,等價類是連通單射浸入子流形,都具有相同維度p,以實坐標空間的分解為標準嵌入子空間
的陪集
為模型。等價類稱作葉狀結構的葉(leaf)。[1]若要求流形和/或子流形具有(
類的)分段線性、微分或解析結構,就可分別定義分段線性、微分、解析葉狀結構。在最重要的
類微分葉狀結構中,通常r ≥ 1(否則
就是拓撲葉狀結構)。[2]p(葉的維度)稱作葉狀結構的維度,
稱作其余維數。
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在數學物理學家關於廣義相對論的一些論文中,「葉狀結構」用於描述:相關的洛倫茲流形((p+1)維時空)分解為p維超平面,指定為梯度處處不為零的實值光滑函數(純量場)的水平集;這光滑函數通常被假定為時間函數,梯度處處類時間,因此其水平集都是類空間超平面。為與標準數學術語保持一致,這些超平面通常稱作葉狀結構的葉。[3]注意,雖然這情形確實構成標準數學意義上的余維-1葉狀結構,但這類例子是全局平凡的。雖然(數學)余維-1葉狀結構的葉局部上總是函數的水平集,但一般不能在全局這樣表達,[4][5]因為葉可能無限多次通過局部平凡化坐標圖,葉周圍的完整也可能阻礙葉的全局一致定義函數的存在。例如,雖然3-球面有一個由里布發現的余維1-葉狀結構,但閉流形的余維-1葉狀結構不能由光滑函數的水平集給出,因為閉流形上的光滑函數必然在最值點有臨界點。
葉狀結構好比是一種給流形穿的條紋織物的衣服。在流形的每個足夠小的片上,這些條紋給了流形一個局部乘積結構,不需在局部區域之外一致(不用有良定義的整體結構):沿着一個條紋走足夠遠,可能回到不同的鄰近的條紋。