拓撲流形

在數學中，拓撲流形（ topological manifold ）是一個「局部上看起來像是 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 」的拓樸空間，是微分幾何的主要研究對象。所有其他類型的流形（ manifolds ）都是帶有額結構的拓撲流形。例如可微流形是一個帶有額外的「微分結構」的拓撲流形；而光滑流形則要求這個「微分結構」要是無窮可微的。

形式定義

一個 ${\displaystyle n}$ 維拓撲流形（或簡稱流形）是一個拓撲空間 ${\displaystyle M}$ ，滿足以下性質^[1]：

1. ${\displaystyle M}$ 是豪斯多夫空間。
2. ${\displaystyle M}$ 是第二可數空間。
3. 對於每個 ${\displaystyle M}$ 中的點，找的到一個該點的鄰域 ${\displaystyle U}$ ，使得 ${\displaystyle U}$ 和 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 同胚。

範例

• 連續函數的圖形。
• ${\displaystyle n}$ 維的球體。
• ${\displaystyle n}$ 維射影空間。
• 環面

範例

n {\displaystyle n} 維流形

• ${\displaystyle n}$ 維歐幾里得空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 是一個 ${\displaystyle n}$ 維拓撲流形。
• 離散空間是一個 ${\displaystyle 0}$ 維拓撲流形。
• 圓形是一個緊緻的 ${\displaystyle 1}$ 維拓撲流形。
• 環面和克萊因瓶是緊緻的 ${\displaystyle 2}$ 維拓撲流形。
• ${\displaystyle n}$ 維的球面是一個緊緻的 ${\displaystyle n}$ 維流形。
• ${\displaystyle n}$ 維的環面是一個緊緻的 ${\displaystyle n}$ 維流形。

Projective manifolds

• Projective spaces over the reals, complexes, or quaternions are compact manifolds.
  • Real projective space RPⁿ is a n-dimensional manifold.
  • Complex projective space CPⁿ is a 2n-dimensional manifold.
  • Quaternionic projective space HPⁿ is a 4n-dimensional manifold.
• Manifolds related to projective space include Grassmannians, flag manifolds, and Stiefel manifolds.

Other manifolds

• Differentiable manifolds are a class of topological manifolds equipped with a differential structure.
• Lens spaces are a class of differentiable manifolds that are quotients of odd-dimensional spheres.
• Lie groups are a class of differentiable manifolds equipped with a compatible group structure.
• The E8 manifold is a topological manifold which cannot be given a differentiable structure.

參考文獻

引用

1. （英文）Lee, John M. Introduction to Smooth Manifolds. Springer New York. 2012.第2-3頁

書籍

• （英文）Lee, John M. Introduction to Smooth Manifolds. Springer New York. 2012.