數學上,可積函數是存在積分的函數。除非特別指明,一般積分是指勒貝格積分。否則,稱函數為"黎曼可積"(也即黎曼積分存在),或者"Henstock-Kurzweil可積",等等。
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注意,函數可以有不定積分(反導數),而並不在如下的定義中可積。例如函數
![{\displaystyle F(x)=\sin(x)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73a23df29ebfab917f3abc16d6144b19b461b86)
是
![{\displaystyle f(x)=\cos(x)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b2ebd101b76e22d42a1b63e34ae75d17f2bfa6)
的不定積分,但是f(x)不是實數上的可積函數。這種情況在不定積分在每個方向都有極限的時候也可能成立,例如
![{\displaystyle (x\geq 1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eafa93b5bcfa70498046912aa37563e01b65e2f)
其導數
不是從1到無窮可積的。積分區間不是無窮的時候也會出現這種情況,譬如不定積分
![{\displaystyle (0<x\leq 1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/793a72cb355f5c54d63ae905e515772749ceb435)
其導數
不是從0到1可積的。(無論f(x)在0點取何值,它都是在該點不連續的,而F'(0)無定義,所以微積分基本定理在[0, 1]上不適用。)