變分法
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變分法是處理泛函的數學領域,和處理函數的普通微積分相對。譬如,這樣的泛函可以通過未知函數的積分和它的導數來構造。變分法最終尋求的是極值函數:它們使得泛函取得極大或極小值。有些曲線上的經典問題採用這種形式表達:一個例子是最速降線,在重力作用下一個粒子沿着該路徑可以在最短時間從點A到達不直接在它底下的一點B。在所有從A到B的曲線中必須極小化代表下降時間的表達式。
變分法的關鍵定理是歐拉-拉格朗日方程。它對應於泛函的臨界點。在尋找函數的極大和極小值時,在一個解附近的微小變化的分析給出一階的一個近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值(或者都不是)。
變分法在理論物理中非常重要:在拉格朗日力學中,以及在最小作用量原理在量子力學的應用中。變分法提供了有限元方法的數學基礎,它是求解邊界值問題的強力工具。它們也在材料學中研究材料平衡中大量使用。而在純數學中的例子有,黎曼在調和函數中使用狄利克雷原理。
同樣的材料可以出現在不同的標題中,例如希爾伯特空間技術,莫爾斯理論,或者辛幾何。變分一詞用於所有極值泛函問題。微分幾何中的測地線的研究是很顯然的變分性質的領域。極小曲面(肥皂泡)上也有很多研究工作,稱為普拉托問題。