反餘割

反餘割（英語：arccosecant、記為：${\displaystyle \operatorname {arccsc} }$或${\displaystyle \csc ^{-1}}$）是一種反三角函數^[3]，對應的三角函數為餘割函數，用來計算已知斜邊與對邊的比值求出其夾角大小的函數，是高等數學中的一種基本特殊函數，其輸入值與反正弦互為倒數。

反餘割
性質
奇偶性	奇函數
定義域	${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} :\left|x\right|\geq 1\right\}}$[1]
到達域	${\displaystyle \left\{y\in \mathbb {R} :-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}\land y\neq 0\right\}}$ ${\displaystyle \left\{y\in \mathbb {R} :-90^{\circ }\leq y\leq 90^{\circ }\land y\neq 0\right\}}$
周期	N/A
特定值
當x=0	不存在[註 1]
當x=+∞	0
當x=-∞	0
當x=1	${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$ （-90°）
當x=-1	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ （90°）
其他性質
漸近線	${\displaystyle y=0}$
不動點	±1.11415714087193...

原始的定義是將餘割函數限制在${\displaystyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}$（[-90°, 90°]）的反函數
在複變分析中，反餘割是這樣定義的：

${\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-{i}\ln \left({\tfrac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)\,}$

這個動作使反餘割被推廣到複數。

下圖表示推廣到複數的反餘割複數平面函數圖形，可以見到圖中央有一條明顯的橫線正好是實數中未被定義的區間${\displaystyle [-1,1]}$。

拓展到複數的反餘割函數

參見

• 反三角函數
• 餘割函數
• 反正弦

註釋

1. 由於反餘割在x=0未定義，因此考慮複變反餘割函數，^[2]但由在x=0時於左極限不等於右極限，因此也不存在極限因此Arccsc 0不存在。

參考文獻

1. Weisstein, Eric W. "Inverse Cosecant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
2. 反餘割在x=0的極限 wolframalpha.com [2015-06-25]
3. Gradshtein, I. S., I. M. Ryzhik, et al. (2000). Table of integrals, series, and products, Academic Pr.