反正割

反正割（英語：arcsecant^[3]、記為：${\displaystyle \operatorname {arcsec} }$或${\displaystyle \sec ^{-1}}$）是一種反三角函數^[4]，對應的三角函數為正割函數，用來計算已知斜邊與鄰邊的比值求出其夾角大小的函數，是高等數學中的一種基本特殊函數，其輸入值與反餘弦互為倒數。

反正割
性質
奇偶性	非奇非偶
定義域	${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} :\left|x\right|\geq 1\right\}}$[1]
到達域	${\displaystyle \left\{y\in \mathbb {R} :0\leq y\leq \pi \land y\neq {\frac {\pi }{2}}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{y\in \mathbb {R} :0\leq y\leq \pi \land y\neq 90^{\circ }\right\}}$
周期	N/A
特定值
當x=0	不存在[註 1]
當x=+∞	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ （90°）
當x=-∞	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ （90°）
當x=1	0
當x=-1	${\displaystyle \pi }$ （180°）
其他性質
漸近線	${\displaystyle y={\frac {\pi }{2}}}$ （y=90°）

由於正割函數在實數上不具有一一對應的關係，所以不存在反函數，但我們可以限制其定義域，因此，反正割是單射也是可逆的，由於限制正割函數的定義域在${\displaystyle [0,\pi ]}$（[0, 180°]）時，其值域是全體實數，但在區間${\displaystyle [-1,1]}$不存在。

符號

反正割一般記為${\displaystyle \sec ^{-1}z}$^[5]或${\displaystyle \operatorname {arcsec} z}$^[6][7][8][9]，以表示正割的反函數。也有以大寫書寫的版本Arcsec z^[10]和Sec^-1 z一般用於表示多值函數^[6]。在符號${\displaystyle \sec ^{-1}z}$上的上標-1是表示反函數，而不是乘法逆元素。但根據ISO 31-11應將反正切函數記為${\displaystyle \operatorname {arcsec} z}$，因為${\displaystyle \sec ^{-1}}$可能會與${\displaystyle {\frac {1}{\sec }}}$混淆，${\displaystyle {\frac {1}{\sec }}}$是餘弦函數。

定義

原始的定義是將正割函數限制在${\displaystyle [0,\pi ]}$（[0, 180°]）的反函數
在複變分析中，反正割是這樣定義的：

${\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-{\mathrm {i} }\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {\mathrm {i} }{x^{2}}}}}\right)\,}$

這個動作使反正割被推廣到複數。

下圖表示推廣到複數的反正割複數平面函數圖形，可以見到圖中央有一條明顯的橫線正好是實數中未被定義的區間[-1,1]。

拓展到複數的反正割函數

直角三角形中

在直角三角形中，反正割定義為已知斜邊c與鄰邊b比值對應的${\displaystyle \angle A}$的大小，也就是：

${\displaystyle \sec ^{-1}{\frac {\mathrm {Hypotenuse} }{\mathrm {Adjacent} }}=\theta \,\!}$

• 
  直角三角形，C為直角，對於角A而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊
• 
  直角三角形，已知斜邊斜邊為x且鄰邊為單位長

此外在直角三角形中，若已知斜邊為${\displaystyle x}$且鄰邊為單位長，${\displaystyle x}$代入反正割可求得對應的角的大小：

${\displaystyle \sec ^{-1}x=\operatorname {arcsec} x=\theta \,\!}$

因此，根據畢氏定理可以使反正割利用其他反三角函數表示：

${\displaystyle \sin(\operatorname {arcsec} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}$

${\displaystyle \cos(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}}$

直角坐標系中

若${\displaystyle \alpha }$是平面直角坐標系xOy中的一個未知的象限角，${\displaystyle P\left({x,y}\right)}$是角的終邊上一點，${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}$是P到原點O的距離，若已知${\displaystyle {\frac {r}{x}}\,\!}$，則可利用反正割求得未知的象限角${\displaystyle \alpha }$：

${\displaystyle \sec ^{-1}{\frac {r}{x}}=\operatorname {arcsec} {\frac {r}{x}}=\alpha \,\!}$

級數定義

反正割函數可以使用無窮級數定義：

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-[z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots ]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}}$

反正割函數的泰勒展開式為：

${\displaystyle \operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}}x^{-2n-1}={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{6x^{3}}}-{\frac {3}{40x^{5}}}-{\frac {5}{112x^{7}}}-\cdots }$

參見

• 反餘弦
• 正割
• 餘弦

註釋

1. 由於反正割在x=0未定義，因此考慮複變反正割函數，^[2]但由在x=0時於左極限不等於右極限，因此也不存在極限因此Arcsec 0不存在。

參考文獻

1. Weisstein, Eric W. "Inverse Secant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
2. 反正割在x=0的極限 wolframalpha.com [2014-08-08]
3. 反正割arcsecant-學術名詞資訊 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） 國家教育研究院 terms.naer.edu.tw [2014-08-07]
4. Gradshtein, I. S., I. M. Ryzhik, et al. (2000). Table of integrals, series, and products, Academic Pr.
5. Zwillinger, D.(Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995.
6. Abramowitz, M. and Stegun, I. A.(Eds.). "Inverse Circular Functions." §4.4 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）. New York: Dover, pp. 79-83, 1972.
7. Harris, J. W. and Stocker, H. Handbook of Mathematics and Computational Science （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）. New York: Springer-Verlag, p. 315, 1998.
8. Jeffrey, A. Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, 2000.
9. 《 Exponentielle & logarithme 》, § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis.
10. Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141-143, 1987.

外部連結

• 數學主題

• 埃里克·韋斯坦因. Inverse Secant. MathWorld.
• 埃里克·韋斯坦因. Arcsecant. MathWorld.