壓縮映射

度量空間(M,d)上的壓縮映射（英語：Contraction mapping），或壓縮，是一個從M到它本身的函數f，存在某個實數${\displaystyle 0<k<1}$，使得對於所有M內的x和y，都有：

${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y).}$

滿足以上條件的最小的k稱為f的利普希茨常數。壓縮映射有時稱為利普希茨映射。如果以上的條件對於所有的${\displaystyle 0<k\leq 1}$都滿足，則該映射稱為非膨脹的。

更一般地，壓縮映射的想法可以定義於兩個度量空間之間的映射。如果(M,d)和(N,d')是兩個度量空間，則我們尋找常數k，使得${\displaystyle d'(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)}$對於所有M內的x和y。

每一個壓縮映射都是利普希茨連續的，因此是一致連續的。

一個壓縮映射最多有一個不動點。另外，巴拿赫不動點定理說明，非空的完備度量空間上的每一個壓縮映射都有唯一的不動點，且對於M內的任何x，迭代函數序列x，f (x)，f (f (x))，f (f (f (x)))，……收斂於不動點。這個概念在迭代函數系統中是非常有用的，其中通常要利用壓縮映射。巴拿赫不動點定理也用來證明常微分方程的解的存在，以及證明反函數定理。^[1]

參見

• 短映射
• 壓縮 (算子理論)

註釋

1. Theodore Shifrin, Multivariable Mathematics, Wiley, 2005, ISBN 0-471-52638-X, pp. 244-260.

參考文獻

• Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7 provides an undergraduate level introduction.
• Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5
• William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2