反函數定理

數學分析中，反函數定理（英語：Inverse function theorem）給出了向量值函數在含有定義域中一點的開區域內具有反函數的一個充分條件。對滿足該條件的函數，該定理斷言其反函數的全導數存在，並給出了一個公式。反函數定理可以推廣到定義在流形上、以及定義在無窮維巴拿赫空間（和巴拿赫流形）上的映射。大致地說，C¹函數F在點p可逆，如果它的雅可比矩陣 ${\displaystyle J_{F}(p)}$ 可逆。

定理的表述

對單變量函數 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ，反函數定理說明如果 ${\displaystyle f}$ 在點 ${\displaystyle a}$ 連續可導且其導數不為零，那麼存在一個包含 ${\displaystyle a}$ 的開區間 ${\displaystyle U}$ 使得 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle U}$ 上是一個單射。其反函數 ${\displaystyle f^{-1}}$ 在 ${\displaystyle b=f(a)}$ 處連續可導，反函數在 ${\displaystyle b}$ 處的導數為

${\displaystyle (f^{-1})'(b)={\frac {1}{f'(a)}}={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}}$。

然而該條件並不是必需的，函數 ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ 在 ${\displaystyle a=0}$ 處導數值為零，但存在反函數 ${\displaystyle f^{-1}(x)={\sqrt[{3}]{x}}}$。然後這種情況下 ${\displaystyle f^{-1}}$ 在 ${\displaystyle b=f(a)}$ 處不可導，否則由連鎖律可得 ${\displaystyle 1=(f\circ f^{-1})'(b)=f'(a)(f^{-1})'(b)}$ ，代表 ${\displaystyle f'(a)}$ 將不等於零。

對多變量函數，該定理說明如果從 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的一個開集U到 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的連續可微函數F的全微分在點p可逆（也就是說，F在點p的雅可比行列式不為零），那麼F在點p的附近具有反函數。也就是說，在F(p)的某個鄰域內，F的反函數存在。而且，反函數F ^-1也是連續可微的。在無窮維的情況中，需要弗雷歇導數在p附近具有有界的反函數。

最後，定理說明：

${\displaystyle J_{F^{-1}}(F(p))=[J_{F}(p)]^{-1}}$

其中${\displaystyle [\cdot ]^{-1}}$表示逆矩陣，而${\displaystyle J_{G}(q)}$是函數G在點q的雅可比矩陣。

這個公式還可以從連鎖律推出。連鎖律說明，如果G和H是兩個函數，分別在H(p)和p具有全導數，那麼：

${\displaystyle J_{G\circ H}(p)=J_{G}(H(p))\cdot J_{H}(p).}$

設G為F，H為F ^-1，${\displaystyle G\circ H}$就是恆等函數，其雅可比矩陣也是單位矩陣。在這個特殊的情況中，上面的公式可以對${\displaystyle J_{F^{-1}}(F(p))}$求解。注意連鎖律假設了函數H的全導數存在，而反函數定理則證明了F^-1在點p具有全導數。

F的反函數存在，等於是說方程組y_i = F_j(x₁,...,x_n)可以對x₁，……，x_n求解，如果我們把x和y分別限制在p和F(p)的足夠小的鄰域內。

例子

考慮從 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 到 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 的向量值函數，定義為：

${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}.}$

那麼雅可比矩陣為：

${\displaystyle J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}}$

其行列式為：

${\displaystyle \det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}.\,\!}$

由於行列式 ${\displaystyle e^{2x}}$ e^2x處處不為零，根據反函數定理， ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 中的任意點p都存在個鄰域，使得在這個鄰域內F具有反函數。

方法和證明

作為一個重要的結果，反函數定理已經有許多證明。在教科書中最常見的證明依靠了壓縮映射原理，又稱為巴拿赫不動點定理。（這個定理還可以用於證明常微分方程的存在性和唯一性）。由於這個定理在無窮維（巴拿赫空間）的情形也適用，因此它可以用來證明反函數定理的無窮維形式（參見下面的「推廣」）。

另外一個證明（只在有限維有效）用到了緊集上的函數的極值定理。^[1]

還有一個證明用到了牛頓法，它的好處是提供了定理的一個有效的形式。也就是說，給定函數的導數的特定界限，就可以估計函數可逆的鄰域的大小。^[2]

推廣

流形

反函數定理可以推廣到可微流形之間的可微映射。在這個情形中，定理說明對於可微映射F : M → N，如果F的導數

(dF)_p : T_pM → T_F(p)N

在M內的某個點p是線性同構，那麼存在p的一個開鄰域U，使得：

F|_U : U → F(U)

是微分同胚。注意這意味着M和N的維數必須相同。

如果F的導數在M內的所有點p都是同構，那麼映射F就是局部微分同胚。

巴拿赫空間

反函數定理還可以推廣到巴拿赫空間之間的可微映射。設X和Y為巴拿赫空間，U是X內的原點的一個開鄰域。設F : U → Y連續可微，並假設F在點0的導數(dF)₀ : X → Y是從X到Y的有界線性同構。那麼在Y內存在F(0)的一個開鄰域V，以及一個連續可微的映射G : V → X，使得對於V內的所有y，都有F(G(y)) = y。而且，G(y)是方程F(x) = y的唯一足夠小的解x。

在函數是X和Y之間的對射的簡單情況中，函數具有連續的反函數。這可以從開映射定理立即推出。

巴拿赫流形

在巴拿赫流形的反函數定理中，可以把上面的兩個推廣結合起來。^[3]

常秩定理

反函數定理（以及隱函數定理）可以視為常秩定理的特殊情況，它說明在某個點局部常秩的光滑映射可以化為該點附近的特定的正規形式。^[4]當F的導數在點p可逆時，它在p的鄰域也可逆，因此導數的秩是常數，故可以使用常秩定理。

參見

• 隱函數定理

註釋

1. Michael Spivak, Calculus on Manifolds.
2. John H. Hubbard and Barbara Burke Hubbard, Vector Analysis, Linear Algebra, and Differential Forms: a unified approach, Matrix Editions, 2001.
3. Serge Lang, Differential and Riemannian Manifolds, Springer, 1995, ISBN 0-387-94338-2.
4. Wiilliam M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 2002, ISBN 0-12-116051-3.

參考文獻

• Nijenhuis, Albert. Strong derivatives and inverse mappings. Amer. Math. Monthly. 1974, 81: 969–980. doi:10.2307/2319298.
• Renardy, Michael and Rogers, Robert C. An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics 13 Second edition. New York: Springer-Verlag. 2004: 337–338. ISBN 0-387-00444-0. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics Third edition. New York: McGraw-Hill Book Co. 1976: 221–223. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)