單參數群
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在數學中,一個單參數群(one-parameter group)或稱單參數子群(one-parameter subgroup)通常表示從實數 R(作為加法群)到另一個拓撲群 G 的一個連續群同態
- φ : R → G.
這意味着它嚴格說來其實不是一個群;如果 φ 是單射,則其像 φ(R) 是 G 的一個同構於加法群 R 的子群。這就是說,我們只知道
- φ (s + t) = φ(s)φ(t)
其中 s, t 是群在 G 中的參數。我們可能有
- φ(s) = e, G 中的單位元,
對某個 s ≠ 0 成立。譬如 G 是單位圓是這可能發生,且
- φ(s) = eis.
在這種情形,φ 的核由 2π 乘以整數組成。
一個技術複雜性在於 φ(R) 作為 G 的子空間的拓撲可能比 R 上的要粗糙;這在 φ 是單射時可能發生。譬如考慮當 G 是一個環面 T,φ 是沿着一個無理斜率纏繞的直線。
所以一個單參數群或單參數子群需區別於一個群或一個子群自身,有三個原因:
- 它有一個確定的參數化,
- 群同態可能不是單射,
- 誘導拓撲可能不是實線上的標準拓撲。
這樣的單參數群在李群理論具有基本重要性,其中相伴的李代數中每一個元素定義了這樣一個同態,指數映射。在矩陣群的情形,它由矩陣指數給出。
另一個重要情形出現於泛函分析,G 是一個希爾伯特空間中的酉算子。參見單參數酉群的斯通定理。
鮑爾·科恩(Paul Cohn)在其1957年專題論文《李群》中58頁,給出如下定理:
- 任何連通一維李群解析同構於實數加法群
或實數模 1 加法群
。特別地,任何一位李群局部同構於 R。