內自同構

在抽象代數的群論中，內自同構（英語：Inner automorphism）是群的一種自同構。群內部的元素的共軛作用可以定義一個自同構，因而得名「內」自同構。

定義

設 ${\displaystyle g}$ 為群 ${\displaystyle G}$ 的一個元素，則 ${\displaystyle g}$ 對應的內自同構可以由如下的方程給出

${\displaystyle \iota _{g}:G\to G}$

${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$

該方程是 ${\displaystyle G}$ 的一個自同態，因為對任意 ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in G}$ ，有

${\displaystyle \iota _{g}(x_{1}x_{2})=g^{-1}x_{1}x_{2}g=g^{-1}x_{1}gg^{-1}x_{2}g=(g^{-1}x_{1}g)(g^{-1}x_{2}g)=\iota _{g}(x_{1})\iota _{g}(x_{2})}$

所有由 ${\displaystyle G}$ 的元素的共軛作用給出的自同構稱為內自同構。

性質

若g在G的中心Z(G)內，則${\displaystyle \iota _{g}}$是平凡的。因此阿貝爾群的內自同構都是平凡的。一般而言，${\displaystyle \iota _{g}}$的不動點集，正是g的中心化子C_G(g)。

內自同構${\displaystyle \iota _{g}}$的逆元是${\displaystyle \iota _{g}^{-1}=\iota _{g^{-1}}}$。兩個內自同構${\displaystyle \iota _{g},\iota _{h}}$的複合是${\displaystyle \iota _{g}\circ \iota _{h}=\iota _{gh}}$

由群的中心的基本性質可知，若Inn(G)是循環群，則Inn(G)是平凡群。

若Inn(G)=Aut(G)且G無中心，則G稱為完備群。

若G是完滿群且Inn(G)是單群，則G稱為擬單群。

內自同構群

群 ${\displaystyle G}$ 的內自同構組成內自同構群 ${\displaystyle {\text{Inn}}(G)}$ 。內自同構群 ${\displaystyle {\text{Inn}}(G)}$ 與群 ${\displaystyle G}$ 對其中心 ${\displaystyle Z(G)}$ 的商群 ${\displaystyle G/Z(G)}$ 同構。

內自同構群 ${\displaystyle {\text{Inn}}(G)}$ 是 ${\displaystyle G}$ 的自同構群 ${\displaystyle {\text{Out}}(G)}$ 中的正規子群，其對應商群記為 ${\displaystyle {\text{Out}}(G)={\text{Aut}}(G)/{\text{Inn}}(G)}$ ，稱為外自同構群。

上述關係可以用以下兩個短正合列表示：

${\displaystyle 1\to \mathrm {Z} (G)\to G\to \mathrm {Inn} (G)\to 1}$

${\displaystyle 1\to \mathrm {Inn} (G)\to \mathrm {Aut} (G)\to \mathrm {Out} (G)\to 1}$

正規子群

群 ${\displaystyle G}$ 的子群 ${\displaystyle H}$ 是 ${\displaystyle G}$ 的正規子群若 ${\displaystyle H}$ 在 ${\displaystyle G}$ 的任一內自同構的作用下不變。這時 ${\displaystyle G}$ 的內自同構限制到 ${\displaystyle H}$ 上時是 ${\displaystyle H}$ 的一個自同構（未必是 ${\displaystyle H}$ 的內自同構），因而有群同態${\displaystyle G\to \mathrm {Aut} (H)}$。這個群同態的核是 ${\displaystyle H}$ 在 ${\displaystyle G}$ 中的中心化子 ${\displaystyle C_{G}(H)}$ 。

對一般的子群H，可取其在G中的正規化子N_G(H)，則H是N_G(H)的正規子群，故有群同態${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(H)\to \mathrm {Aut} (H)}$，其核是C_G(H)。因此N_G(H)/C_G(H)可以嵌入到Aut(H)內，即

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(H)/\mathrm {C} _{G}(H)\to \mathrm {Aut} (H)}$

是單射。

參考

• Rotman, Joseph J., An introduction to the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-0-387-94285-8 (chapter 7).