倒易點陣(英語:reciprocal lattice),又稱倒(易)晶格、倒(易)格子,是物理學中描述空間波函數的傅立葉變換後的周期性的一種方法。相對於正晶格所描述的實空間周期性,倒晶格描述的是動量空間,亦可認為是k空間的周期性。根據位置和動量所滿足的龐特里亞金對偶性,布拉菲晶格的倒晶格仍然是一種布拉菲晶格,而倒晶格的倒晶格就會變回原始晶格(正晶格)。
數學描述
一維晶格
一個二維晶體及其倒易點陣
對於以
為基矢的一維晶格,其倒格子的基矢為
![{\displaystyle {\boldsymbol {b}}=2\pi {\frac {\boldsymbol {a}}{a^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27fefe2ecd36fb3a5994edbf2008b48ebfa76724)
二維晶格
對於以
為基矢的二維晶格,定義其二維平面法線向量為
,其倒格子的基矢為
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{1}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {n}}}{{\boldsymbol {a_{1}}}\cdot ({\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {n}})}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f200bd711e71e0f66a8d67ae868537f6a90175a4)
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{2}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {a_{1}}}}{{\boldsymbol {a_{2}}}\cdot ({\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {a_{1}}})}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8765ffaa1dbef435bd54a2e1621b6f35e86bebb0)
三維晶格
對三維晶格而言,我們定義素晶胞的基矢
,可以用下列公式決定倒晶格的晶胞基矢
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{1}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}}}{{\boldsymbol {a_{1}}}\cdot ({\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}})}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/911c0f428fec992a59131c782666caa745a88d0e)
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{2}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a_{3}}}\times {\boldsymbol {a_{1}}}}{{\boldsymbol {a_{2}}}\cdot ({\boldsymbol {a_{3}}}\times {\boldsymbol {a_{1}}})}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b07466b99a8f0db927c9c6ea752b3dc53b7489)
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{3}}}=2\pi {\frac {{\boldsymbol {a_{1}}}\times {\boldsymbol {a_{2}}}}{{\boldsymbol {a_{3}}}\cdot ({\boldsymbol {a_{1}}}\times {\boldsymbol {a_{2}}})}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a339e87f23003bc55fc09e4486fc9f71c5d2bd5b)
倒晶格與正晶格的關係
倒晶格與正晶格的基矢滿足以下關係
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{i}}}\cdot {\boldsymbol {b_{j}}}=2\pi \delta _{ij}={\begin{cases}2\pi ,&i\ =\ j\\0,&i\ \neq \ j\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74ce1880277422e8760bf649d44491cf23bf45e)
定義三維中的倒晶格向量G
![{\displaystyle \mathbf {G} =h{\boldsymbol {b_{1}}}+k{\boldsymbol {b_{2}}}+l{\boldsymbol {b_{3}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc767ca757985e7ef253de7ab1e8e875987b856)
其中(h,k,l)為密勒指數,向量G的模長與正晶格的晶面間距有以下關係
![{\displaystyle \mathbf {|G_{hkl}|} ={\frac {2\pi }{d_{hkl}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d54ff534eb63abddfa8a0a5b57cbc1ea1e69b0e)
向量G和正晶格向量R有以下關係
![{\displaystyle \mathbf {R} =c_{1}{\boldsymbol {a_{1}}}+c_{2}{\boldsymbol {a_{2}}}+c_{3}{\boldsymbol {a_{3}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e281c28a335b029e738798c7186a03188484d814)
![{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {G\cdot R} }=1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b67daa6279eb43968a28136296397c7d631b0f)
三維倒晶格中的晶胞體積ΩG和正晶格的晶胞體積Ω有以下關係
![{\displaystyle \Omega _{G}={\frac {(2\pi )^{3}}{\Omega }}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/015ff4f02d6f9cc56f5c64f623a5444841325ffc)
倒晶格的物理意義
在此以一維晶格為例。在一個以
為基矢的一維晶格中,其波函數應該為布洛赫波
![{\displaystyle \psi _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d3594ba77a1905f40f1982941fd549e925e5d10)
定義其倒晶格向量
![{\displaystyle {\boldsymbol {G}}=n{\boldsymbol {b}},\ n=0,1,2,\cdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc45cedf0bc6fde2e201902fe9683a0bab1f2332)
![{\displaystyle {\boldsymbol {b}}=2\pi {\frac {\boldsymbol {a}}{a^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27fefe2ecd36fb3a5994edbf2008b48ebfa76724)
![{\displaystyle {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {a}}=2\pi n}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859808698526dfb6720971afc3ea3eff1e101bad)
以及一個函數
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x}})&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})\\u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x+a}})&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {a}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x+a}})\\&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x+a}})\\\end{alignedat}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4efdc8c6eebe8389967cae049956a996eff792b5)
由於
是一個布洛赫波包,滿足
![{\displaystyle u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x+a}})=u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab625e98c13c6372106196a5df513e752dc74378)
所以
![{\displaystyle u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x+a}})=u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b73780cc2cad42b8680cdeb4a2c2386dd5489a)
也是一個布洛赫波包。則波函數有以下性質
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ({\boldsymbol {k+G}})\cdot {\boldsymbol {x}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}})\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ({\boldsymbol {k+G}})\cdot {\boldsymbol {x}}}u_{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x}})\\&=\psi _{\boldsymbol {k+G}}({\boldsymbol {x}})\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/771c8925838456ecc3b494d933d2e845d291998f)
可見,倒晶格向量G描述了波函數在以k為基矢的動量空間(k空間)內的周期性。其向量單位,即倒晶格的基矢
是描述k空間中平移對稱性的基矢。其最小可重複單位,即倒晶格的晶胞,稱為第一布里淵區。由于波矢k和動量與波函數對應的能量密切相關,在能帶理論中也用來解釋能帶的周期性。
倒晶格與晶體繞射
晶體繞射滿足布拉格定律
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}2d\sin \theta =n\lambda \\2\times {\frac {2\pi }{\lambda }}\sin \theta ={\frac {2\pi }{d_{n}}}\\\end{alignedat}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378eef9893a0cafd5aaeeb2bc238e41005139e54)
定義入射波波矢為
,則上述公式可變換為
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}|{\boldsymbol {k}}|={\cfrac {2\pi }{\lambda }}\\\mathbf {|G_{hkl}|} ={\cfrac {2\pi }{d_{hkl}}}\\2|{\boldsymbol {k}}|\sin \theta =|\mathbf {G} |\\\end{array}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f8b1f99a199824aa7c9b1850c9d6d1b1612226b)
因此滿足布拉格定律的晶體繞射反映的不是正晶格,而是倒晶格。
進一步將以上公式轉化為向量形式,定義入射波波矢為
,反射波波矢為
,可以得到
![{\displaystyle {\boldsymbol {\Delta k}}={\boldsymbol {k_{o}}}-{\boldsymbol {k_{i}}}=\mathbf {G} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f9fc025de08e55413d0aef58be8832a82f28ff)
這個形式也和勞厄方程式相符。
晶體繞射的想法也可以用來解釋能帶結構中,為什麼能量的分佈是不連續的。
常見布拉菲晶格的倒晶格
簡單立方晶體
簡單立方晶體的素格子基矢可以寫成
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{1}}}=a{\hat {x}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d21c94d3de06f7ed8032a9786797e69705b790e9)
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{2}}}=a{\hat {y}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637a4e464b5b639fd86b2383c433e77025f4a4c7)
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{3}}}=a{\hat {z}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f878e721e09c84948761e6fb8a55dacec964fd5)
體積為
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{1}}}\cdot {\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}}=a^{3}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0c8b54552574b47d4c5fc44a2302ed63da4309)
可推得倒晶格的素格子基矢
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{1}}}={2\pi \over a}{\hat {x}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d3e6f2f701739d1a2cf397817e4e4427a607a8)
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{2}}}={2\pi \over a}{\hat {y}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe5bc38591e05938d1cd825cfce460ced33f6242)
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{3}}}={2\pi \over a}{\hat {z}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5443bc41e1010bc36bf78961f211c382257ead4)
所以簡單立方晶體的倒晶格同樣為簡單立方晶體,但是晶格常數為
。
面心立方晶體(FCC)
面心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{1}}}={a \over 2}\left({\hat {y}}+{\hat {z}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ce6118146988a770ea1f40aaf2db2387832200)
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{2}}}={a \over 2}\left({\hat {z}}+{\hat {x}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5ccfac4ef06f18fcb614ade96ac3cc3bf2fb5b1)
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{3}}}={a \over 2}\left({\hat {x}}+{\hat {y}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a0e4be73750bb5f257b904cbf3a7733a701fee)
體積為
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{1}}}\cdot {\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}}={a^{3} \over 4}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052584e5a14a9e6e0c02fdc8dd0573e139b54f87)
可推得倒晶格之素格子基矢
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{1}}}={2\pi \over a}\left(-{\hat {x}}+{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fef680b919c4ee4b117f34755b3a9d8a86c8d75b)
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{2}}}={2\pi \over a}\left(+{\hat {x}}-{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0581ba839a2f3804372e7637c5d995fc85645a6e)
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{3}}}={2\pi \over a}\left(+{\hat {x}}+{\hat {y}}-{\hat {z}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545782e2f6fac9c27076833bfb56d4fbc3a9e0d9)
面心立方晶體的倒晶格為體心立方晶體。
體心立方晶體(BCC)
體心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{1}}}={a \over 2}\left(-{\hat {x}}+{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6b53f232647eb43a9f1a33ea3ffecafe97ccfd)
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{2}}}={a \over 2}\left(+{\hat {x}}-{\hat {y}}+{\hat {z}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9d7d38f06cac34140c7079f3904952ac8e6ba0c)
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{3}}}={a \over 2}\left(+{\hat {x}}+{\hat {y}}-{\hat {z}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c03ecc01c0a317b810c764b5e5c523b53ffae6)
體積為
![{\displaystyle {\boldsymbol {a_{1}}}\cdot {\boldsymbol {a_{2}}}\times {\boldsymbol {a_{3}}}={a^{3} \over 2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60bdb58643215208a8e761d1b365290ced0ed34f)
可推得倒晶格之素格子基矢
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{1}}}={2\pi \over a}\left({\hat {y}}+{\hat {z}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc6c77103f2e9435782547305b58f26e271dc39)
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{2}}}={2\pi \over a}\left({\hat {z}}+{\hat {x}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea1358a40b55dd06565e204bcc6d15536c924ad)
![{\displaystyle {\boldsymbol {b_{3}}}={2\pi \over a}\left({\hat {x}}+{\hat {y}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d09b37f84854faed875d609206f9a1ba661e0008)
可得知體心立方晶體之倒晶格為面心立方晶體。
在布拉菲晶格中,三軸互為九十度的
(立方, 正方, 斜方)的晶體結構,是很容易被證明其倒晶格空間之三軸
與其真實晶格之三軸有垂直的關係.
參閱
外部連結