主叢

數學上，一個G主叢(principal G-bundle)是一種特殊的纖維叢，其纖維為拓撲群G的作用的扭子（torsor）（也稱為主齊性空間）。主G叢是G叢，因為群G也是叢的結構群。

主叢在拓撲學和微分幾何中有重要應用。他們在物理學中也有應用，他們組成了規範理論的基礎框架的一部分。主叢為纖維叢的理論提供了一個統一的框架，因為所有纖維叢及其結構群G決定了一個唯一的主G叢，從該主叢可以重建原來的那個叢。

形式化定義

一個主G叢是一個纖維叢π : P → X ，及一個拓撲群G的連續右作用P × G → P，該作用保持P的纖維不變並在纖維上自由和推移式的作用。（經常會要求基空間X是豪斯多夫空間，還可能要求仿緊）。叢的抽象纖維取為G本身。

由此可知，G作用的軌道正好就是π : P → X的纖維而軌道空間P/G和基空間X同胚。要求G在纖維上自由和推移的作用意味着纖維具有G-旋子的結構。一個G-旋子是同胚於G的空間但沒有群的結構，因為它沒有一個特定的單位元的選擇。

主G叢的局部平凡化必須是G等變（equivariant）映射，使得纖維的G-旋子結構得到保持。確切地說，這表示如果

${\displaystyle \phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G\,}$

是一個有${\displaystyle \phi (p)=(\pi (p),\psi (p))}$形式的局部平凡化，則

${\displaystyle \phi (p\cdot g)=(\pi (p),\psi (p)g).}$

主叢也可定義在光滑流形的範疇中。這裏π : P → X要求是一個光滑流形間的光滑映射，G要求為李群，而相應的P上的作用也要光滑。

例

最普通的光滑主叢的例子是光滑流形M的標架叢。這裏，M中一點x上的纖維是切空間T_xM的所有標架（有序的基）。一般線性群（general linear group） GL(n,R)在這些標架上簡單推移的作用。這些纖維可以一種自然的方式粘在一起，從而得到一個M上的主GL(n,R)叢。

上面這個例子的變種包括黎曼流形的正交標架叢（orthonormal frame bundle）。這裏，標架必須對於度量張量正交。結構群是正交群O(n).

一個正則（正規）覆疊空間p : C → X是一個主叢，其中，結構群${\displaystyle \pi _{1}(X)/p_{*}\pi _{1}(C)}$通過單值作用（monodromy action）作用在C上。特別的有，X的萬有覆疊（universal cover）是以${\displaystyle \pi _{1}(X)}$為結構群的X上的主叢。

令G為李群而H為閉子群。則G是G/H（H的左陪集空間）上的主H叢。這裏H在G上的作用就是右乘。

射影空間提供了更多主叢的有趣例子。回想一下，n-球 Sⁿ是一個實射影空間(real projective space) RPⁿ的兩層的覆疊空間。 O(1)在Sⁿ上的自然作用給它RPⁿ上的主O(1)叢的結構。同樣，S²ⁿ⁺¹是一個復射影空間(complex projective space) CPⁿ上的主U(1)叢，而S⁴ⁿ⁺³是四元數射影空間(quaternionic projective space) HPⁿ上的主Sp(1)-叢。這樣，對每個正的n，我們有一系列的主叢：

${\displaystyle {\mbox{O}}(1)\to S(\mathbb {R} ^{n+1})\to \mathbb {RP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{U}}(1)\to S(\mathbb {C} ^{n+1})\to \mathbb {CP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{Sp}}(1)\to S(\mathbb {H} ^{n+1})\to \mathbb {HP} ^{n}}$

這裏S(V)表示V（用歐氏度量）中的單位球。對於所有這些例子，n = 1的情況給出了所謂的霍普夫叢。

主叢的表述

如果π : P → X是一個光滑主G叢，則G在P上的作用是自由和真（proper）的，使得軌道空間P/G微分同胚於基空間X。事實上，這些性質完全歸納了光滑主從的特徵。也就是說，如果P是一個光滑流形，G是李群而μ : P × G → P是一個光滑，自由，和真的右作用，則

• P/G 是一個光滑流形，
• 自然投影π : P → P/G是一個光滑淹沒(submersion),
• P是一個P/G上的光滑主G從。

參看

• 關聯叢（associated bundle）
• 向量叢
• G結構
• 規範場論

參考

• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 See section 1.7.
• David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981), Addison-Wesley Publishing, ISBN 0-201-10096-7 See Chapter 1.