三格骨牌

三格骨牌（Tromino），又稱三連塊，是一種多格骨牌，每塊以三個全等的正方形連成^[1]，若一骨牌翻面或是旋轉後，仍視為同一種骨牌的話，共有兩種三格骨牌，可以由英文字母I和L代表（L有時也會表示為V）。

所有的三格骨牌

若一骨牌翻面後的形狀和原來不同時，可以不視為同一種骨牌，但由於二種三格骨牌都是軸對稱，骨牌翻面之後圖案都和原來相同，因此仍然只有二種三格骨牌。若一骨牌翻面或是旋轉後形狀和原來不同，可以不視為同一種骨牌，I形骨牌可以旋轉90度，而L形骨牌可以旋轉90度、180度及270度，再加上原來的二種，這樣就會有六種三格骨牌^[2][3]。

三格骨牌定理

三格L形骨牌自分割問題

若在2ⁿ×2ⁿ的棋盤抽走其中一個單位正方形，剩下的圖形可被一定數量的L形三格骨牌互不重疊地覆蓋。

這個定理由多格骨牌的發明人——一名22歲的哈佛學生Solomon Golomb提出^[4]。

證明

使用數學歸納法：

當n=1：從2×2的棋盤抽走一個單位正方形，必定是一個L形三格骨牌，它自然可被L形三格骨牌覆蓋。

假設在2ⁿ×2ⁿ的棋盤抽走其中一個單位正方形，剩下的圖形可被完全覆蓋：

1. 將2ⁿ⁺¹×2ⁿ⁺¹棋盤分成四個2ⁿ×2ⁿ的部分。
2. 將不包含沒有抽走單位正方形的三個部分，各在接近2ⁿ⁺¹×2ⁿ⁺¹棋盤中心的角上抽走一個單位正方形。
3. 這三個單位正方角就組成一個L形三格骨牌。
4. 根據假設，剩下的四個被抽走一個單位正方形的2ⁿ×2ⁿ的部分，都可被完全覆蓋。

當2ⁿ×2ⁿ可被完全覆蓋時，2ⁿ⁺¹×2ⁿ⁺¹也可。

三格L形骨牌自分割問題

三格L形骨牌有一個特點，L形骨牌可以分割為四個長度只有原來一半的L形骨牌，若將骨牌再往下分割，可以分割為4ⁿ片大小更小的骨牌。

若針對任何的數字n，也可以將三格L形骨牌分割為n²片較小的三格L形骨牌。

參考資料

1. Golomb, Solomon W. Polyominoes 2nd. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. 1994. ISBN 0-691-02444-8.
2. Weisstein, Eric W. (編). Triomino. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2009-12-05]. （原始內容存檔於2009-11-29） （英語）.
3. Redelmeier, D. Hugh. Counting polyominoes: yet another attack. Discrete Mathematics. 1981, 36: 191–203. doi:10.1016/0012-365X(81)90237-5.
4. Golomb's inductive proof of a tromino theorem at cut-the-knot. [2006-01-21]. （原始內容存檔於2006-09-28）.

外部連結

• Tromino Puzzle（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at cut-the-knot
• Interactive Tromino Puzzle（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at Amherst College