在數學中,負二是距離原點兩個單位的負整數[1],記作−2[2]或−2[3],是2的加法反元素或相反數,介於−3與−1之間,亦是最大的負偶數。除了少數探討整環質元素的情況外[4],一般不會將負二視為質數[5]。
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負二有時會做為冪次表達平方倒數,用於國際單位制基本單位的表示法中,如m s-2[6]。此外,在部份領域如軟件設計,負一通常會作為函數的無效回傳值[7],類似地負二有時也會用於表達除負一外的其他無效情況[8],例如在整數數列線上大全中,負一作為不存在、負二作為此解是無窮[9][10]。
- 負二為第二大的負整數[11][12]。最大的負整數為負一。因此部分量表會使用負二作為僅次於負一的分數或權重。[13]
- 負二為負數中最大的偶數,同時也是負數中最大的單偶數。
- 負二為格萊舍χ數(OEIS數列A002171)[14]
- 負二為第6個擴充貝爾數[15](complementary Bell number,或稱Rao Uppuluri-Carpenter numbers )(OEIS數列A000587),前一個是1後一個是-9。[16]
- 負二為最大的殭屍數[17],即位數和(首位含負號)的平方與自身的和大於零的負數[17]。前一個為-3(OEIS數列A328933)。所有負數中,只有26個整數有此種性質[17]。
- 負二為最大能使
的負整數[18]。
- 負二能使二次體
的類數為1,亦即其整數環為唯一分解整環[註 1][19]。而根據史塔克-黑格納理論,有此性質的負數只有9個[20][21][22],其對應的自然數稱為黑格納數[23]。
- 此外負二也能使二次體
成為簡單歐幾里得整環(simply Euclidean fields,或稱歐幾里得範數整環,Norm-Euclidean fields)[24]。有此性質的負數只有-11, -7, -3, -2, -1(OEIS數列A048981)[25]。若放寬條件,則負十五也能列入[26][27]。
- 負二為從1開始使用加法、減法或乘法在2步內無法達到的最大負數[28]。1步內無法達到的最大負數是負一、3步內無法達到的最大負數是負四(OEIS數列A229686)[28]。這個問題為直線問題與加法、減法和乘法的結合[29],其透過整數的運算難度對NP = P與否在代數上進行探討[30]。
- 負二為2階的埃爾米特數[31],即
[32]。
[34],同時滿足
,即
。此外,
當
為2和3時結果也為負二[35]。
- 負二能使k(k+1)(k+2)為三角形數[36]。所有整數只有9個數有此種性質[37],而負二是有此種性質的最小整數。這9個整數分別為-2, -1, 0, 1, 4, 5, 9, 56和636(OEIS數列A165519)[37]。
- 負二為立方體下閉集合中歐拉示性數的最小值[38]。
負二的冪
![{\displaystyle (-2)^{x}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048d9c237859dcba8f55260e3d0ab5dd5eb3ed49)
示意圖
一個可以代表負二的冪
![{\displaystyle (-2)^{x}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048d9c237859dcba8f55260e3d0ab5dd5eb3ed49)
主值的
圖形,藍色是
實數部、橘色是
虛數部、橫軸為
![{\displaystyle x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
、縱軸為
![{\displaystyle (-2)^{x}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048d9c237859dcba8f55260e3d0ab5dd5eb3ed49)
。只有在
![{\displaystyle x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
為整數時
![{\displaystyle (-2)^{x}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048d9c237859dcba8f55260e3d0ab5dd5eb3ed49)
為實數
負二的前幾次冪為 -2、4、-8、16、-32、64、-128 (OEIS數列A122803)正負震盪[41],其中正的部分為四的冪、負的部分與四的冪差負二倍[42],因此這種特性使得負二成為作為底數可以不使用負號、二補碼等輔助方式表示全體實數的最大負數[41][43][44][45],並在1957年間有部分計算機採用負二為底之進位制的數字運算進行設計[46],類似地,使用2i則能表達複數[47]。
負二的冪之和是一個發散幾何級數。雖然其結果發散,但仍可以求得其廣義之和,其值為1/3[48][49]。
= 1 − 2 + 4 − 8 + …
若考慮幾何級數的計算公式,則有[50]:
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38c23993134ed795bf7a350d5245c9f00d8a0b9d)
在首項a = 1且公比r = −2時,上述公式的結果為1/3。然而這個級數應為發散級數,其前幾項的和為[51]:
- 1, -1, 3, -5, 11, -21, 43, -85, 171, -341....(OEIS數列A077925)
這個級數雖然發散,然而歐拉對這個級數的結果給出了一個值,即1/3[52],而這個和稱為歐拉之和[53]。
數的負二次冪
![{\displaystyle x^{-2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8b7511903e09d541194a246c76f0956151fd50)
示意圖
一個可以代表數的負二次冪
![{\displaystyle x^{-2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8b7511903e09d541194a246c76f0956151fd50)
的
函數圖形。數的負二次冪亦可以用平方倒數來表示,即
![{\displaystyle x^{-2}={\frac {1}{x^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c34a551f89968b43d1e1cfc796853bf84c84e5fe)
若一數的冪為負二次,則其可以視為平方的倒數,這個部分用於函數也適用[54],而日常生活中偶爾會用於表示不帶除號的單位,如加速度一般計為m/s2,而在國際單位制基本單位的表示法中也可以計為 m s-2[6]。
而平方倒數中較常討論的議題包括對任意實數
而言,其平方倒數
結果恆正、平方反比定律[56]、網格湍流衰減[57]以及巴塞爾問題[58]。其中巴塞爾問題指的是自然數的負二次方和(平方倒數和)會收斂並趨近於
,即[59][58]:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{n^{-2}}={1^{-2}}+{2^{-2}}+{3^{-2}}+\cdots ={1 \over 1^{2}}+{1 \over 2^{2}}+{1 \over 3^{2}}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58270e07c14d116589973e23d09983fba009d60)
而這個值與黎曼ζ函數代入2的結果相同[60][61]。
對任意實數而言,平方倒數的結果恆正。例如負二的平方倒數為四分之一。前幾個自然數的平方倒數為:
負二通常以在2前方加入負號表示[67],通常稱為「負二」或大寫「負貳」,但不應讀作「減二」[68],而在某些場合中,會以「零下二」[69][70]表達-2,例如在表達溫度時[71]。
在二進制時,尤其是計算機運算,負數的表示通常會以二補碼來表示[72],即將所有位數填上1,再向下減。此時,負二計為「......11111110(2)」,更具體的,4位元整數負二計為「1110(2)」;8位元整數負二計為「11111110(2)」;16位元整數負二計為「1111111111111110(2)」[73]而在使用負號的表示法中,負二計為「-10(2)」[74]。
當d<0時,若
的整數環為唯一分解整環,就表示
的數字都只有一種因數分解方式,例如
的整數環不是唯一分解整環,因為6可以以兩種方式在
中表成整數乘積:
和
。
7的平方倒數之循環節有42位,0.0204081632 6530612244 8979591836 7346938775 51 ... 參閱49的倒數
bi-imaginary number system
中,
為負二、
為二的情況
[62]
平方根的主值即
取正的值,對於負二而言,即
[註 4][62][64][65][66]
Runesson Kempe, Ulla, Anna Lövström, and Björn Hellquist. Beyond the borders of the local: How “instructional products” from learning study can be shared and enhance student learning. International Journal for Lesson and Learning Studies (Emerald Group Publishing Limited). 2018, 7 (2): 111––123.
Rick Billstein, Shlomo Libeskind, and Johnny W. Lott. A Problem Solving Approach to Mathematics for Elementary School Teachers. Pearson Education, Inc. 2010: 250.
Yan, Michael and Leung, Eric and Han, Binna, The Joy Of Engineering (PDF), 2011-12 [2020-03-21], (原始內容存檔 (PDF)於2020-03-21)
Horwitz, Kenneth. Extending Fraction Placement from Segments to a Number Line. Children’s Reasoning While Building Fraction Ideas (Springer). 2017: 193––200.
Haag, VH; et al, Introduction to Algebra (Part 2), ERIC, 1960
aillon, L and Poon, Chi-Sun and Chiang, YH. Quantifying the waste reduction potential of using prefabrication in building construction in Hong Kong. Waste management (Elsevier). 2009, 29 (1): 309––320.
Amdeberhan, Tewodros and De Angelis, Valerio and Moll, Victor H. Complementary Bell numbers: Arithmetical properties and Wilf’s conjecture. Advances in Combinatorics (Springer). 2013: 23––56.
Koiran, Pascal. Valiant’s model and the cost of computing integers. computational complexity (Springer). 2005, 13 (3-4): 131––146.
Shub, Michael and Smale, Steve. On the intractability of Hilbert’s Nullstellensatz and an algebraic version of “NP= P?”. Duke Mathematical Journal. 1995, 81 (1): pp. 47-54.
pahio. Hermite numbers. planetmath.org. 2013-03-22 [2020-03-14]. (原始內容存檔於2015-09-19).
Richard K. Guy. "Figurate Numbers", §D3 in Unsolved Problems in Number Theory,. Problem Books in Mathematics 2nd ed. New York: Springer-Verlag. 1994: 148. ISBN 978-0387208602.
Dresden, Greg; Dymàček, Wayne M. Finding Factors of Factor Rings over the Gaussian Integers. The American Mathematical Monthly. 2005-08-01, 112 (7): 602. doi:10.2307/30037545.
孫長軍. 负二次幂函数与排列数的交错级数型线性微分方程. 山東理工大學學報(自然科學版) (連雲港職業技術學院數學教研室). 2004, 05期.
Hooke's letter to Newton of 6 Jan. 1680 (Koyré 1952:332)[55]
許志農. 休閒數學的濫觴⋯中國的洛書 (PDF). lungteng.com.tw. [2020-03-21]. (原始內容存檔 (PDF)於2020-03-21).
Knuth, D.E. (1960). "bi-imaginary number system"[63]. Communications of the ACM. 3 (4): 247.
Slekys, Arunas G and Avižienis, Algirdas. A modified bi-imaginary number system. 1978 IEEE 4th Symposium onomputer Arithmetic (ARITH) (IEEE). 1978: 48––55.
Slekys, Arunas George, Design of complex number digital arithmetic units based on a modified bi-imaginary number system., University of California, Los Angeles, 1976
Kreith, Kurt and Mendle, Al. Toward A Coherent Treatment of Negative Numbers. Journal of Mathematics Education at Teachers College. 2013, 4 (1): 53.
Bofferding, L.C. and Murata, A. and Goldman, S.V. and Okamoto, Y. and Schwartz, D. and Stanford University. School of Education. Expanding the Numerical Central Conceptual Structure: First Graders' Understanding of Integers. Stanford University. 2011: 169.
E.g. Section 4.2.1 in Intel 64 and IA-32 Architectures Software Developer's Manual, Signed integers are two's complement binary values that can be used to represent both positive and negative integer values., Volume 1: Basic Architecture, 2006-11
David J. Lilja and Sachin S. Sapatnekar, Designing Digital Computer Systems with Verilog, Cambridge University Press, 2005 online (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)
Current Time Zone. Brazil Considers Having Only One Time Zone. Time and Date. 2009-07-21 [2012-07-14]. (原始內容存檔於2012-07-12).
Pace, Ian. Positive or negative 2. The Musical Times (JSTOR). 1998, 139 (1860): 4––15.