−2

在數學中，負二是距離原點兩個單位的負整數^[1]，記作−2^[2]或⁻2^[3]，是2的加法反元素或相反數，介於−3與−1之間，亦是最大的負偶數。除了少數探討整環質元素的情況外^[4]，一般不會將負二視為質數^[5]。

-2

← −3 −2 −1 →
數表 — 整數 <<  −10  −9‍  −8‍ −7 −6  −5‍ −4 −3 −2 −1 >>
命名
小寫	負二
大寫	負貳
序數詞	第負二 negative second
識別
種類	整數
性質
質因數分解	一般不做質因數分解
高斯整數分解	${\displaystyle i\times \left(1+i\right)^{2}}$
因數	1、2
絕對值	2
相反數	2
表示方式
值	-2
算籌
二進制	−10(2)
三進制	−2(3)
四進制	−2(4)
五進制	−2(5)
八進制	−2(8)
十二進制	−2(12)
十六進制	−2(16)
閱 論 編

高斯整數導航
			↑
			2i
		−1+i	i	1+i
←	−2	−1	0	1	2	→
		−1−i	−i	1−i
			−2i
			↓

提示：此條目頁的主題不是負二項分佈。

負二有時會做為冪次表達平方倒數，用於國際單位制基本單位的表示法中，如m s^-2[6]。此外，在部份領域如軟件設計，負一通常會作為函數的無效回傳值^[7]，類似地負二有時也會用於表達除負一外的其他無效情況^[8]，例如在整數數列線上大全中，負一作為不存在、負二作為此解是無窮^[9][10]。

性質

• 負二為第二大的負整數^[11][12]。最大的負整數為負一。因此部分量表會使用負二作為僅次於負一的分數或權重。^[13]
• 負二為負數中最大的偶數，同時也是負數中最大的單偶數（日語：単偶数）。
• 負二為格萊舍χ數（OEIS數列A002171）^[14]
• 負二為第6個擴充貝爾數^[15]（complementary Bell number，或稱Rao Uppuluri-Carpenter numbers ）（OEIS數列A000587），前一個是1後一個是-9。^[16]
• 負二為最大的殭屍數^[17]，即位數和（首位含負號）的平方與自身的和大於零的負數^[17]。前一個為-3（OEIS數列A328933）。所有負數中，只有26個整數有此種性質^[17]。
• 負二為最大能使${\displaystyle \tan n>\left|n\right|}$的負整數^[18]。
• 負二能使二次體${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$的類數為1，亦即其整數環為唯一分解整環^{[註 1][19]}。而根據史塔克-黑格納理論（英語：Stark–Heegner theorem），有此性質的負數只有9個^[20][21][22]，其對應的自然數稱為黑格納數^[23]。
  • 此外負二也能使二次體${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$成為簡單歐幾里得整環（simply Euclidean fields，或稱歐幾里得範數整環，Norm-Euclidean fields）^[24]。有此性質的負數只有-11, -7, -3, -2, -1（OEIS數列A048981）^[25]。若放寬條件，則負十五也能列入^[26][27]。
• 負二為從1開始使用加法、減法或乘法在2步內無法達到的最大負數^[28]。1步內無法達到的最大負數是負一、3步內無法達到的最大負數是負四（OEIS數列A229686）^[28]。這個問題為直線問題（英語：straight-line program）與加法、減法和乘法的結合^[29]，其透過整數的運算難度對NP = P與否在代數上進行探討^[30]。
• 負二為2階的埃爾米特數（英語：Hermite number）^[31]，即${\displaystyle H_{2}=H_{2}(0)=-2\,}$^[32]。
  • 同時，負二也是唯一一個素的^{[註 2]}埃爾米特數。^[33]
• ${\displaystyle {{2!}-{{2}^{2}}}=-2}$^[34]，同時滿足${\displaystyle \left|n\right|!-n^{2}=n}$，即${\displaystyle \left|-2\right|!-(-2)^{2}=-2}$。此外，${\displaystyle n!-2^{n}}$當${\displaystyle n}$為2和3時結果也為負二^[35]。
• 負二能使k(k+1)(k+2)為三角形數^[36]。所有整數只有9個數有此種性質^[37]，而負二是有此種性質的最小整數。這9個整數分別為-2, -1, 0, 1, 4, 5, 9, 56和636（OEIS數列A165519）^[37]。
• 負二為立方體下閉集合中歐拉示性數的最小值^[38]。

負二的因數

負二的擁有的因數若負因數也列入計算則與二的因數（含負因數）相同，為-2、-1、1、2。根據定義一般不對負數進行質因數分解，雖然能將${\displaystyle -1}$提出來^[39]計為${\displaystyle -1\times 2}$，因此2可以視為負二的質因數，但不能作為負二的質因數分解結果。雖然不能對負二進行整數分解，由於負二是一個高斯整數，因此可以對負二進行高斯整數分解，結果為${\displaystyle i\times (1+i)^{2}}$，其中${\displaystyle 1+i}$為高斯質數^[40]、${\displaystyle i}$為虛數單位。

負二的冪

負二的冪${\displaystyle (-2)^{x}}$示意圖

一個可以代表負二的冪${\displaystyle (-2)^{x}}$主值的圖形，藍色是實數部、橘色是虛數部、橫軸為${\displaystyle x}$、縱軸為${\displaystyle (-2)^{x}}$。只有在${\displaystyle x}$為整數時${\displaystyle (-2)^{x}}$為實數

負二的前幾次冪為 -2、4、-8、16、-32、64、-128 （OEIS數列A122803）正負震盪^[41]，其中正的部分為四的冪、負的部分與四的冪差負二倍^[42]，因此這種特性使得負二成為作為底數可以不使用負號、二補碼等輔助方式表示全體實數的最大負數^{[41][43][44][45]}，並在1957年間有部分計算機採用負二為底之進位制的數字運算進行設計^[46]，類似地，使用2i則能表達複數^[47]。

負二的冪之和是一個發散幾何級數。雖然其結果發散，但仍可以求得其廣義之和，其值為1/3^[48][49]。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}}$ = 1 − 2 + 4 − 8 + …

若考慮幾何級數的計算公式，則有^[50]：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.}$

在首項a = 1且公比r = −2時，上述公式的結果為1/3。然而這個級數應為發散級數，其前幾項的和為^[51]：

1, -1, 3, -5, 11, -21, 43, -85, 171, -341....（OEIS數列A077925）

這個級數雖然發散，然而歐拉對這個級數的結果給出了一個值，即1/3^[52]，而這個和稱為歐拉之和（英語：Euler summation）^[53]。

負二次冪

數的負二次冪${\displaystyle x^{-2}}$示意圖

一個可以代表數的負二次冪${\displaystyle x^{-2}}$的函數圖形。數的負二次冪亦可以用平方倒數來表示，即${\displaystyle x^{-2}={\frac {1}{x^{2}}}}$

若一數的冪為負二次，則其可以視為平方的倒數，這個部分用於函數也適用^[54]，而日常生活中偶爾會用於表示不帶除號的單位，如加速度一般計為m/s²，而在國際單位制基本單位的表示法中也可以計為 m s^-2[6]。

而平方倒數中較常討論的議題包括對任意實數${\displaystyle n}$而言，其平方倒數${\displaystyle n^{-2}}$結果恆正、平方反比定律^[56]、網格湍流衰減^[57]以及巴塞爾問題^[58]。其中巴塞爾問題指的是自然數的負二次方和（平方倒數和）會收斂並趨近於${\textstyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$，即^[59][58]：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{n^{-2}}={1^{-2}}+{2^{-2}}+{3^{-2}}+\cdots ={1 \over 1^{2}}+{1 \over 2^{2}}+{1 \over 3^{2}}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}}$

而這個值與黎曼ζ函數代入2的結果相同^[60][61]。

對任意實數而言，平方倒數的結果恆正。例如負二的平方倒數為四分之一。前幾個自然數的平方倒數為：

平方倒數	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
${\displaystyle x^{-2}}$	1	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{9}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{16}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{25}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{49}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{64}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{81}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{100}}}$
	1	0.25	${\displaystyle 0.{\overline {1}}}$	0.0625	0.04	${\displaystyle 0.0{\overline {27}}}$	0.0204081632....[註 3]	0.015625	${\displaystyle 0.0{\overline {1}}2345679{\overline {0}}}$	0.01

負二的平方根

負二的平方根在定義虛數單位${\displaystyle i}$滿足${\displaystyle {{i}^{2}}=-1}$後可透過等式${\displaystyle {\sqrt {-x}}=\pm i{\sqrt {x}}}$得出，而對負二而言，則為${\displaystyle {\sqrt {-2}}=\pm i{\sqrt {2}}}$^{[註 4][62][64][65][66]}。而負二平方根的主值為${\displaystyle i{\sqrt {2}}}$^{[註 5]}。

表示方法

負二通常以在2前方加入負號表示^[67]，通常稱為「負二」或大寫「負貳」，但不應讀作「減二」^[68]，而在某些場合中，會以「零下二」^[69][70]表達-2，例如在表達溫度時^[71]。

在二進制時，尤其是計算機運算，負數的表示通常會以二補碼來表示^[72]，即將所有位數填上1，再向下減。此時，負二計為「......11111110₍₂₎」，更具體的，4位元整數負二計為「1110₍₂₎」；8位元整數負二計為「11111110₍₂₎」；16位元整數負二計為「1111111111111110₍₂₎」^[73]而在使用負號的表示法中，負二計為「-10₍₂₎」^[74]。

在其他領域中

• 水星在地球上觀測的視星等平均約為負二等^[75]，最大亮度則為−2.48等。^[76]
• 時區UTC-2表示比協調世界時慢2小時^[77]。
• 二(三氟甲基)硒（(CF₃)₂Se）的沸點為−2 °C。^[78]

正負二

正負二（${\displaystyle \pm 2}$）是透過正負號表達正二與負二的方式，其可以用來表示4的平方根或二次方程${\displaystyle x^{2}=4}$的解，即${\displaystyle {\sqrt {4}}=\pm {2}}$。正負二比負二更常出現於文化中，例如一些音樂創作^[79]或者紀錄片《±2℃》講述全球氣溫提升或降低兩度對環境可能造成的影響^[80][81]。

參見

• 2
• 2i

註釋

1. 當d<0時，若${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$的整數環為唯一分解整環，就表示${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$的數字都只有一種因數分解方式，例如${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-5}}]}$的整數環不是唯一分解整環，因為6可以以兩種方式在 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ 中表成整數乘積：${\displaystyle 2\times 3}$ 和 ${\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$。
2. 此指埃爾米特多項式的費馬偽質數
3. 7的平方倒數之循環節有42位，0.0204081632 6530612244 8979591836 7346938775 51 ... 參閱49的倒數
4. bi-imaginary number system${\displaystyle \left\langle {\sqrt {R}},Z_{R}\right\rangle }$中，${\displaystyle R}$為負二、${\displaystyle Z_{R}}$為二的情況${\displaystyle \left\langle \pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle }$^[62]
5. 平方根的主值即${\displaystyle {\sqrt {-x}}=\pm i{\sqrt {x}}}$取正的值，對於負二而言，即${\displaystyle {\sqrt {-2}}=i{\sqrt {2}}}$^{[註 4][62][64][65][66]}

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