非對稱關係

提示：此條目頁的主題不是反對稱關係。

在數學中，非對稱關係（英語：Asymmetric relation）是二元關係的一種。若集合 ${\displaystyle X}$ 上的二元關係 ${\displaystyle R}$ 為非對稱關係，則對於所有 ${\displaystyle a,b\in X}$，${\displaystyle (a,b)\in R\implies (b,a)\not \in R}$。換句話說，如果 ${\displaystyle a}$ 至 ${\displaystyle b}$ 存在關係，則 ${\displaystyle b}$ 至 ${\displaystyle a}$ 不存在關係^[1]。

正式定義

一個定義於 ${\displaystyle X}$ 上的二元關係 ${\displaystyle R}$ 是 ${\displaystyle X\times X}$ 的任何子集。給定 ${\displaystyle a,b\in X}$，我們將 ${\displaystyle (a,b)\in R}$ 簡寫為 ${\displaystyle aRb}$，讀作「${\displaystyle a}$ 至 ${\displaystyle b}$ 存在關係 ${\displaystyle R}$（${\displaystyle a}$ is related to ${\displaystyle b}$ by ${\displaystyle R}$）」。

如果對於所有 ${\displaystyle a,b\in X}$，若 ${\displaystyle aRb}$，則 ${\displaystyle b\not Ra}$（也就是 ${\displaystyle (a,b)\in R\implies (b,a)\not \in R}$ ），則我們稱 ${\displaystyle R}$ 是非對稱的。以一階邏輯的形式可以寫成：

$${\displaystyle \forall a,b\in X:aRb\implies \lnot (bRa)}$$

一個邏輯等價的定義如下：對於所有 ${\displaystyle a,b\in X}$，${\displaystyle aRb}$ 與 ${\displaystyle bRa}$ 中至少有一為假。以一階邏輯的形式可以寫成：

$${\displaystyle \forall a,b\in X:\lnot (aRb\wedge bRa)}$$

非對稱關係的一個例子是定義於實數上的「小於關係」，亦即 ${\displaystyle R=\{(a,b)\ |\ a<b\}}$。由於當 ${\displaystyle a}$ 小於 ${\displaystyle b}$ 時，${\displaystyle b}$ 一定不小於 ${\displaystyle a}$，因此 ${\displaystyle R}$ 是非對稱的。另一方面，「小於等於關係」則不是非對稱的，因為當 ${\displaystyle a=b}$ 時，${\displaystyle a\leq b}$ 和 ${\displaystyle b\leq a}$ 會同時成立，不符合非對稱關係的定義。

非對稱關係不代表對稱關係的相反，上述的「小於等於關係」既不是非對稱關係，也不是對稱關係；而「空關係（${\displaystyle R=\emptyset }$）」是唯一同時是非對稱關係，也是對稱關係的關係。

非對稱關係（Asymmetric）與反對稱關係（Antisymmetric）的差異在於：反對稱關係容許自反性，${\displaystyle (a,a)}$ 可以屬於 ${\displaystyle R}$，而非對稱關係不允許。如上述的「小於等於關係」即是反對稱關係的一例。

特性

• 一個關係為非對稱的，若且唯若該關係為反對稱且非自反的^[2]。
• 對於一個非對稱關係 ${\displaystyle R}$，對其施加限制或求其逆關係後，該關係同樣是非對稱的。例如，由「${\displaystyle <}$」定義的關係是非對稱關係（若 ${\displaystyle a<b}$ 則 ${\displaystyle b\not <a}$），若將集合從實數限縮至整數，該關係同樣是非對稱的；求該關係的逆關係「${\displaystyle >}$」，該逆關係同樣是非對稱的。
• 一個遞移關係為非對稱的，若且唯若該關係為非自反的^[3]：若存在 ${\displaystyle aRb}$ 且 ${\displaystyle bRa}$ 使得該關係不是非對稱，則由遞移性可得到 ${\displaystyle aRa}$，使得該關係同樣不是非自反關係。
• 一個關係為遞移性的且非對稱的，若且唯若該關係為嚴格偏序的。
• 一個非對稱關係不一定是全關係。例如，由「嚴格子集」定義的關係是非對稱關係（若 ${\displaystyle A\subset B}$ 則 ${\displaystyle B\not \subset A}$），但不是全關係（${\displaystyle \{1,2\}\not \subset \{3,4\}}$ 又 ${\displaystyle \{3,4\}\not \subset \{1,2\}}$）。

參見

• 反對稱關係
• 對稱關係

參考資料

1. Gries, David; Schneider, Fred B., A Logical Approach to Discrete Math, Springer-Verlag: 273, 1993.
2. Nievergelt, Yves, Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography, Springer-Verlag: 158, 2002.
3. Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. Transitive Closures of Binary Relations I (PDF). Prague: School of Mathematics - Physics Charles University. 2007: 1 [2013-08-20]. （原始內容 (PDF)存檔於2013-11-02）. Lemma 1.1 (iv). Note that this source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".