歐拉-馬斯刻若尼常數是一個數學常數,定義為調和級數與自然對數的差值:
![{\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)-\ln(n)\right]=\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf185b6d9ad97389a24d868420ea2379a75f60a)
提示:此條目的主題不是
尤拉數。
Quick Facts 歐拉-馬斯刻若尼常數, 識別 ...
歐拉-馬斯刻若尼常數歐拉-馬斯刻若尼常數 |
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![Thumb](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/04/Gamma-area.svg/220px-Gamma-area.svg.png) 藍色區域的面積收斂到歐拉常數 |
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符號 | ![{\displaystyle \gamma }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a) |
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位數數列編號 | A001620 |
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定義 | ![{\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)-\ln(n)\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af12010d95e43a1b424a6c3a76c92c2727c1c06)
![{\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dfbeb7f78ec31260e483c0343ff28b1ea8054b6) |
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連分數 | [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...] |
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值 | 0.57721566490153... |
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無窮級數 | ![{\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7176d3dc104a5ef96f1039306f330096dde13ccd) |
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二進制 | 0.100100111100010001100111… |
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十進制 | 0.577215664901532860606512… |
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十六進制 | 0.93C467E37DB0C7A4D1BE3F81… |
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Close
它的近似值為
[1],
歐拉-馬斯刻若尼常數主要應用於數論。
該常數最先由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉在1735年發表的文章De Progressionibus harmonicus observationes中定義。歐拉曾經使用
作為它的符號,並計算出了它的前6位小數。1761年他又將該值計算到了16位小數。1790年,意大利數學家洛倫佐·馬斯凱羅尼引入了
作為這個常數的符號,並將該常數計算到小數點後32位。但後來的計算顯示他在第20位的時候出現了錯誤。
目前尚不知道該常數是否為有理數,但是分析表明如果它是一個有理數,那麼它的分母位數將超過10242080。[2]
。
。
。
![{\displaystyle \gamma =\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\zeta (m)}{m}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d7b3ca3c0658e49949d993f9c0ccca171c368fd)
。
![{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}=\gamma }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e8953c45930358e67ed50421c45f50cb88a1766)
![{\displaystyle \gamma ={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}[\zeta (m)-1]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87c6c8e2b81d1f232a24da48013a831eb1e9192d)
。
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{m\,n}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\,\ln 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a0383cf4feb0933d76bad33d30d5077a663d96)
![{\displaystyle \gamma =\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)=\lim _{s\to 1^{+}}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b4258cbf97ed808b62c3ecc60d95d10fd899a7e)
![{\displaystyle \gamma =\lim _{x\to \infty }\left[x-\Gamma \left({\frac {1}{x}}\right)\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6598511fab1a65e9b06953c415d96ee8633c8f2)
。
![{\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/933d6aa3cf61fb5a9d2d2d352f1e65d42e433bbd)
[證明 1]![{\displaystyle =-\int _{0}^{1}{\ln \ln {\frac {1}{x}}}\,dx}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fcb72a18f38408ef4c9e3338e5421e63bc057a0)
![{\displaystyle =\int _{0}^{\infty }{\left({\frac {1}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)e^{-x}}\,dx}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a0c98752f9786128aa395ea163bbb161b0325a)
![{\displaystyle =\int _{0}^{\infty }{{\frac {1}{x}}\left({\frac {1}{1+x}}-e^{-x}\right)}\,dx}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b02b16e4a73502889226a042070950ae90d3cf)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx=-{\tfrac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d20d929e1f09c903d83085d93ac5c75102b08ad)
。
![{\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b1e9e85289cc42a645d5c6c444ca7784317668a)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}=\gamma }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce24aac17a79472d56c1e8188deac5adde35bb09)
![{\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7176d3dc104a5ef96f1039306f330096dde13ccd)
.
![{\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\dots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c0dda40fa4ecfde8adc649afb910bbee619668)
![{\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\,dx}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e3d5a0521b8281008b33e1f6f44e34f2e98010)
的連分數展開式為:
(OEIS數列A002852).
![{\displaystyle \gamma \approx H_{n}-\ln \left(n\right)-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n^{4}}}+...}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d001fe31b0f0a1ba644990d4d0586ac2656ab4)
![{\displaystyle \gamma \approx H_{n}-\ln \left({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{3}}}+...}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b388e0a5f0d1c2c06e001a4d41320610c7bb42c1)
![{\displaystyle \gamma \approx H_{n}-{\frac {\ln \left(n\right)+\ln \left({n+1}\right)}{2}}-{\frac {1}{6n\left({n+1}\right)}}+{\frac {1}{30n^{2}\left({n+1}\right)^{2}}}-...}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d32363e50b0f87916f0ab1bd836fede017ddfcb2)
More information
...
的已知位數
日期 |
位數 |
計算者
|
1734年 |
5 |
萊昂哈德·歐拉
|
1736年 |
15 |
萊昂哈德·歐拉
|
1790年 |
19 |
洛倫佐·馬斯凱羅尼
|
1809年 |
24 |
Johann G. von Soldner
|
1812年 |
40 |
F.B.G. Nicolai
|
1861年 |
41 |
Oettinger
|
1869年 |
59 |
William Shanks
|
1871年 |
110 |
William Shanks
|
1878年 |
263 |
約翰·柯西·亞當斯
|
1962年 |
1,271 |
高德納
|
1962年 |
3,566 |
D.W. Sweeney
|
1977年 |
20,700 |
Richard P. Brent
|
1980年 |
30,100 |
Richard P. Brent和埃德溫·麥克米倫
|
1993年 |
172,000 |
Jonathan Borwein
|
1997年 |
1,000,000 |
Thomas Papanikolaou
|
1998年12月 |
7,286,255 |
Xavier Gourdon
|
1999年10月 |
108,000,000 |
Xavier Gourdon和Patrick Demichel
|
2006年7月16日 |
2,000,000,000 |
Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
|
2006年12月8日 |
116,580,041 |
Alexander J. Yee
|
2007年7月15日 |
5,000,000,000 |
Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
|
2008年1月1日 |
1,001,262,777 |
Richard B. Kreckel
|
2008年1月3日 |
131,151,000 |
Nicholas D. Farrer
|
2008年6月30日 |
10,000,000,000 |
Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
|
2009年1月18日 |
14,922,244,771 |
Alexander J. Yee和Raymond Chan
|
2009年3月13日 |
29,844,489,545 |
Alexander J. Yee和Raymond Chan
|
2013年 |
119,377,958,182 |
Alexander J. Yee
|
2016年 |
160,000,000,000 |
Peter Trueb
|
2016年 |
250,000,000,000 |
Ron Watkins
|
2017年 |
477,511,832,674 |
Ron Watkins
|
2020年 |
600,000,000,100 |
Seungmin Kim和Ian Cutress
|
Close
的證明:
首先根據放縮法(
)容易知道,
,以及
。因此
存在並有限。
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f62f9dd76fe1b16dd3bb939a35457920156a8963)
![{\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}\int _{0}^{1}t^{k-1}\,dt}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6be1619c9b832319ca54b0ebf9063b002ba21ce)
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}\sum _{k=1}^{n}t^{k-1}\,dt}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd86128876a9a70c99a03de498c171148c23b570)
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{n}}{1-t}}\,dt}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce90954d48b9984d33ef59d558be141f07b54843)
![{\displaystyle =\int _{n}^{0}{\frac {1-\left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{n}}{1-\left(1-{\frac {x}{n}}\right)}}d\left(1-{\tfrac {x}{n}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29e6b8ca90ffde85332cd87268bd20064499737)
![{\displaystyle =\int _{n}^{0}{\frac {1-\left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{n}}{\frac {x}{n}}}\left(-{\frac {1}{n}}\right)dx}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/332d4a9bca716f67214c6fdd8294b4b176f73c9d)
![{\displaystyle =\int _{0}^{n}{\frac {1-\left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{n}}{x}}dx}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20749b2b31b10bea5f753f4bd929730f6cbf4e4b)
而![{\displaystyle \ln n=\int _{1}^{n}{\frac {1}{x}}\,dx,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba5bb209ddce67998c0be7dc78b3b40e3230723)
所以![{\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f61eb7f7c563396a9a8abb1725b4355cfa398d6b)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[\int _{0}^{n}{\frac {1-(1-x/n)^{n}}{x}}\,dx-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x}}\,dx\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ad51b5b4b416e2d6f007f02e8c37f90b3f3ea93)
![{\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-x/n)^{n}}{x}}\,dx-\int _{1}^{n}{\frac {(1-x/n)^{n}}{x}}\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0df6992c0f206f2e4328fca6798cb2fa271768)
(單調收斂定理)
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx-\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{x}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1419d1d33cd9d6cff3c7c54cea49e7d2de725b)
![{\displaystyle =\left.(1-e^{-x})\ln x\right|_{0}^{1}-\int _{0}^{1}\ln x\,d(1-e^{-x})-\left.e^{-x}\ln x\right|_{1}^{\infty }+\int _{1}^{\infty }\ln x\,de^{-x}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f40467367455e379c341c506716d6b0a6147c38)
![{\displaystyle =-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln x\,dx.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec96eee56710d81495283bfddd0d6ed422f5310)
前面的放縮法主要是證明了
是單調遞減並下有界限(0),所有極限存在。放縮法的結論需要使用ln(1+x)和ln(1-x)的泰勒級數展開進行證明。
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