阿依熱爾曼猜想

阿依熱爾曼猜想（Aizerman's conjecture）或阿依熱爾曼問題猜想（Aizerman problem）是非線性控制的猜想，認為一線性系統有非線性的回授，不過是在一個扇形的線性區間內，若線性系統在此扇形線性區間都穩定，則整個系統都會穩定。

阿依熱爾曼猜想在一維系統成立，在二維系統是全域穩定的充份必要條件，而針對維度大於3的情形，這個猜想已找到反證^[1][2]，不過後來因此推導出（有效的）非線性控制全域穩定性準則。

阿依熱爾曼猜想的數學描述

考慮一個系統，其中包括一個純量非線性的函數

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Px+qf(e),\quad e=r^{*}x\quad x\in \mathbb {R} ^{n},}$

其中P是常數n×n矩陣、q和r是常數n維向量、∗ 是轉置算子、f(e)是純量函數，且 f(0)=0。假設非線性函數f是有扇型區間的上下限，也就是存在實數${\displaystyle k_{1}}$及${\displaystyle k_{2}}$，滿足${\displaystyle k_{1}<k_{2}}$，且函數${\displaystyle f}$滿足

${\displaystyle k_{1}<{\frac {f(e)}{e}}<k_{2},\quad \forall \;e\neq 0.}$

阿依熱爾曼猜想就是指此系統在全域穩定（有唯一穩定點，而且是全域吸引子）若所有在f(e)=ke, k ∈(k1,k2)下的線性系統都是漸近穩定。

存在阿依熱爾曼猜想的反例，非線性函數在線性穩定的範圍內，且系統除了唯一的穩定平衡點外，還有穩定的週期解—隱蔽振盪。^[2][3][4][5]

卡爾曼猜想是強化版本的阿依熱爾曼猜想，在非線性回授的部份要求回授的微分需在線性穩定區間內，結果也存在反例。

參考資料

1. Aizerman's and Kalman's conjectures and DF method (PDF). [2019-04-04]. （原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04）.
2. Bragin V.O.; Vagaitsev V.I.; Kuznetsov N.V.; Leonov G.A. Algorithms for Finding Hidden Oscillations in Nonlinear Systems. The Aizerman and Kalman Conjectures and Chua's Circuits (PDF). Journal of Computer and Systems Sciences International. 2011, 50 (5): 511–543 [2019-04-04]. doi:10.1134/S106423071104006X. （原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04）.
3. Leonov G.A.; Kuznetsov N.V. Algorithms for Searching for Hidden Oscillations in the Aizerman and Kalman Problems (PDF). Doklady Mathematics. 2011, 84 (1): 475–481 [2019-04-04]. doi:10.1134/S1064562411040120. （原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04）.
4. Leonov G.A.; Kuznetsov N.V. Analytical-numerical methods for investigation of hidden oscillations in nonlinear control systems (PDF). IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). 2011, 18 (1): 2494–2505 [2019-04-04]. doi:10.3182/20110828-6-IT-1002.03315. （原始內容存檔 (PDF)於2020-07-09）.
5. Leonov G.A.; Kuznetsov N.V. Hidden attractors in dynamical systems. From hidden oscillations in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman, and Kalman problems to hidden chaotic attractor in Chua circuits. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2013, 23 (1): art. no. 1330002. doi:10.1142/S0218127413300024.

延伸閱讀

• Atherton, D.P.; Siouris, G.M. Nonlinear Control Engineering. Systems, Man and Cybernetics, IEEE Transactions on. 1977, 7 (7): 567–568 [2008-06-30]. doi:10.1109/TSMC.1977.4309773. （原始內容存檔於2019-07-13）.

外部連結

• Counterexamples to Aizerman's and Kalman's conjectures and describing function method (PDF). [2019-04-04]. （原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04）.