計價標準

計價標準（英語：numéraire）是計算值的基本標準。在數理經濟學中，它是一個可交易的經濟實體，就價格而言，計價標準用來表示所有其他可交易品的相對價格。在貨幣經濟學中，貨幣的其中一種功能即是扮演計價標準的角色。貨幣可以充當記帳單位（英語：Unit of account），提供人們衡量各種商品和服務的價值的共同基準。無論是貨幣還是某些消費品，當只有價格是唯一攸關時，使用計價商品可以幫助比較價值，可參考一般均衡理論。在經濟分析中，當我們指稱一特定商品為計價標準，所有其他商品的價格將根據該計價商品進行「標準化」（normalization）。例如，如果一件商品 g 的市場價值為計價標準的兩倍，則 g 的相對價格為2。由於每個單位的計價標準值相對於其自身的一個單位值是1，因此計價標準的恆為1。

計價標準的計算

需要定義本節中的表示法。

在擁有交易證券的金融市場中，人們可以使用計價標準的變更來定價資產。例如，在時間為0時投資1美元於貨幣市場，則在時間為${\displaystyle t}$時符合此算式${\displaystyle M(t)=\exp \left(\int _{0}^{t}r(s)ds\right)}$。此外資產定價的基本定理（英語：Fundamental theorem of asset pricing）表明，所有按貨幣市場定價的資產 (${\displaystyle S(t)}$)是遵循風險中性措施（英語：risk-neutral measure）( ${\displaystyle Q}$)的鞅。那就是${\displaystyle {\frac {S(t)}{M(t)}}=E_{Q}\left[\left.{\frac {S(T)}{M(T)}}\right|{\mathcal {F}}(t)\right]\qquad \forall \,t\leq T.}$現在，假設${\displaystyle N\left(t\right)>0}$是另一種完全正面的交易資產（也就是在按貨幣市場定價時是鞅）。

然後，透過拉東-尼科迪姆定理，我們可以定義一個新的概率測量${\displaystyle Q^{N}}$，

${\displaystyle {\frac {dQ^{N}}{dQ}}={\frac {M(0)}{M(T)}}{\frac {N(T)}{N(0)}}.}$

再藉由拉東-尼科迪姆定理可以證明當新的計價標準${\displaystyle N(t)}$定價時，${\displaystyle S(t)}$是${\displaystyle Q^{N}}$下的鞅：

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad E_{Q^{N}}\left[\left.{\frac {S(T)}{N(T)}}\right|{\mathcal {F}}(t)\right]\\&=E_{Q}\left[\left.{\frac {M(0)}{M(T)}}{\frac {N(T)}{N(0)}}{\frac {S(T)}{N(T)}}\right|{\mathcal {F}}(t)\right]/E_{Q}\left[\left.{\frac {M(0)}{M(T)}}{\frac {N(T)}{N(0)}}\right|{\mathcal {F}}(t)\right]\\&={\frac {M(t)}{N(t)}}E_{Q}\left[\left.{\frac {S(T)}{M(T)}}\right|{\mathcal {F}}(t)\right]={\frac {M(t)}{N(t)}}{\frac {S(t)}{M(t)}}={\frac {S(t)}{N(t)}}.\end{aligned}}}$

該技術在倫敦同業拆放利率（英語：LIBOR）和掉期交易的市場模型以及商品市場都具有許多重要的應用。Farshid Jamshidian（英語：Farshid Jamshidian）（1989）首先在赫爾懷特模型的背景下使用它來計算債券期權價格。格曼，妮可·厄爾·卡露伊和Rochet（1995）介紹了改變計價標準技術的一般形式框架。 有關更改計價標準工具包的信息，請參閱Brigo和Mercurio（2001）。

參見

• 物價指數
• 遠期測度（英語：Forward measure）
• 價值尺度（英語：Unit of account）

參考資料

• Farshid Jamshidian（英語：Farshid Jamshidian）. An Exact Bond Option Pricing Formula. The Journal of Finance. 1989, 44: 205–209. doi:10.1111/j.1540-6261.1989.tb02413.x.
• Helyette Geman（英語：Helyette Geman）; Nicole El Karoui; J.C. Rochet. Changes of Numeraire, Changes of Probability Measures and Pricing of Options. Journal of Applied Probability. 1995, 32: 443–458. doi:10.2307/3215299.
• Damiano Brigo（英語：Damiano Brigo）; Fabio Mercurio（英語：Fabio Mercurio）. Interest Rate Models – Theory and Practice with Smile, Inflation and Credit 2. Springer Verlag. 2006 [2001]. ISBN 978-3-540-22149-4.