左遞歸

在電腦科學裡面，左遞歸是一種遞歸的特殊狀況。

在上下文無關文法內裡的說法，若一個非終結符號（non-terminal）r有任何直接的文法規則或者透過多個文法規則，推導出的句型（sentential form）其中最左邊的符號 又會出現r，則我們說這個非終結符號r是左遞歸的。

使用類似的方式我們可以定義出某文法本身是左遞歸的。

定義

"一個文法是左遞歸的，若我們可以找出其中存在某非終結符號A，最終會推導出來的句型(sentential form)裡面包含以自己為最左符號(left-symbol)的句型"^[1]

直接左遞歸

直接左遞歸（Immediate left recursion）以下面的句型規則出現：

${\displaystyle A\to A\alpha \mid \beta }$

這裡${\displaystyle \alpha }$跟${\displaystyle \beta }$代表不同的非終結符號跟終結符號組成的序列，並且${\displaystyle \beta }$不一定要包含${\displaystyle A}$。舉例來說，以下規則

${\displaystyle {\mathit {Expr}}\to {\mathit {Expr}}+{\mathit {Term}}}$

就是一個直接左遞歸的例子。 這規則的遞歸下降分析器(recursive descent parser)可能會像這樣：

function Expr()
{  
    Expr();  match('+');  Term();
}

然後這個遞歸下降分析器在嘗試去解析包含此規則的文法時，會陷入一個無窮的遞歸。

間接左遞歸

間接左遞歸(indirect left recursion)最簡單的形式如下：

${\displaystyle A\to B\alpha \mid C}$

${\displaystyle B\to A\beta \mid D,}$

這規則可能產生 ${\displaystyle A\Rightarrow B\alpha \Rightarrow A\beta \alpha \Rightarrow \ldots }$ 這種生成。

簡單的說，間接左遞歸就是，並非在一條規則內完成左遞歸，而是在許多條規則之後，於產生的句子最左邊出現了一開始的非終結符號。

更一般化的說法，對非終結符號${\displaystyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}$，間接左遞歸被定義為以下的型態：

${\displaystyle A_{0}\to A_{1}\alpha _{1}\mid \ldots }$

${\displaystyle A_{1}\to A_{2}\alpha _{2}\mid \ldots }$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle A_{n}\to A_{0}\alpha _{n+1}\mid \ldots }$

這裡的${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$都是一堆終端與非終結符號的序列。

在由上而下語法分析(top-down parsing)裡容納左遞歸

一個包含左遞歸的形式文法不能以簡易的 遞歸下降分析器進行語法分析，除非將文法轉變為weakly equivalent 的右遞歸形式 (相對的，在LALR分析器裡面則比較偏好左遞歸，因為比起右遞歸來說會使用比較少的堆疊)；然而，比較複雜的由上而下(top-down)語法分析器裡面可以藉由使用縮減(by use of curtailment)來實做一般的上下文無關文法。 在2006年, Frost 和 Hafiz 提出一個演算法，可以容納包含直接左遞歸生成規則的 模糊文法（英語：ambiguous grammer）(ambiguous grammers)。^[2] 在2007年，Frost，Hafiz和Callaghan 將此演算法延伸為一個完整的，可以適用並在多項式時間內處理直接或間接左遞歸，而且可以為高度模糊文法接近指數數目的分析樹，產生小一些多項式空間的表示法。^[3]這些人後來在Haskell程式語言裡面以這個演算法實做了一個的分析器組合(parser combinator)的集合。^[4]

移除左遞歸

移除直接左遞歸

一個一般化後移除直接左遞歸的演算法如下所述。 這個方法已經有過許多的改進，包括Robert C. Moore所撰寫，名為"Removing Left Recursion from Context-Free Grammars"的改進。^[5]

對於每個規則如下

${\displaystyle A\rightarrow A\alpha _{1}\,|\,\ldots \,|\,A\alpha _{n}\,|\,\beta _{1}\,|\,\ldots \,|\,\beta _{m}}$

(注意這裡：

• A 是一個有左遞歸的非終端符號
• ${\displaystyle \alpha }$ 是一個終端與非終端符號的序列，而且不為空字串 (${\displaystyle \alpha \neq \epsilon }$)
• ${\displaystyle \beta }$ 是一個不以A開頭的，以終端與非終端符號組成的序列)

將A的規則改成以下規則：

${\displaystyle A\rightarrow \beta _{1}A^{\prime }\,|\,\ldots \,|\,\beta _{m}A^{\prime }}$

然後對新創造出來非終端符號的規則

${\displaystyle A^{\prime }\rightarrow \epsilon \,|\,\alpha _{1}A^{\prime }\,|\,\ldots \,|\,\alpha _{n}A^{\prime }}$

這個新創造出來的符號常被稱為"尾巴"(tail)，或者"rest"(剩餘)

舉例，考慮以下規則

${\displaystyle Expr\rightarrow Expr\,+\,Expr\,|\,Int\,|\,String}$

我們可以改寫為

${\displaystyle Expr\rightarrow Int\,ExprRest\,|\,String\,ExprRest}$

${\displaystyle ExprRest\rightarrow \epsilon \,|\,+\,Expr\,ExprRest}$

然後最後一個規則可以縮短改寫為

${\displaystyle ExprRest\rightarrow \epsilon \,|\,+\,Expr}$

來避免掉左遞歸的出現

移除間接左遞歸

如果文法內不存在 ${\displaystyle \epsilon }$(代表空字串)的生成 (不存在${\displaystyle A\rightarrow \ldots |\epsilon |\ldots }$這樣的規則)，而且不是循環(cyclic)的文法(對所有非終端符號A，不存在像是${\displaystyle A\Rightarrow \ldots \Rightarrow A}$這種形式的規則)，以下這個一般化的演算法可以用來去除文法的間接左遞歸：

將所有非終端符號以某個固定的順序${\displaystyle A_{1},\ldots A_{n}}$排列

從 i = 1 到 n {

從 j = 1 到 i – 1 {

• 設${\displaystyle A_{j}}$的生成規則為

${\displaystyle A_{j}\rightarrow \delta _{1}|\ldots |\delta _{k}}$

• 將所有規則 ${\displaystyle A_{i}\rightarrow A_{j}\gamma }$換成

${\displaystyle A_{i}\rightarrow \delta _{1}\gamma |\ldots |\delta _{k}\gamma }$

• 移除${\displaystyle A_{i}}$規則中的直接左遞歸

}

}

陷阱

上面的轉換使用右遞歸的文法來避免掉左遞歸的出現；但是這樣會改變規則的結合律。左遞歸會創造出向左的結合律；但是右遞歸則會創造出向右的結合律。

範例 :

一開始我們拿到以下文法：

${\displaystyle Expr\rightarrow Expr\,+\,Term\,|\,Term}$

${\displaystyle Term\rightarrow Term\,*\,Factor\,|\,Factor}$

${\displaystyle Factor\rightarrow (Expr)\,|\,Int}$

在我們使用上面的轉換方式來移除掉左遞歸之後，我們取得了以下文法：

${\displaystyle Expr\rightarrow Term\ Expr'}$

${\displaystyle Expr'\rightarrow {}+Term\ Expr'\,|\,\epsilon }$

${\displaystyle Term\rightarrow Factor\ Term'}$

${\displaystyle Term'\rightarrow {}*Factor\ Term'\,|\,\epsilon }$

${\displaystyle Factor\rightarrow (Expr)\,|\,Int}$

我們將字串 'a + a + a'用一個LALR分析器(這種分析器可以處理左遞歸的文法)使用原先的文法來分析，會得到下面的分析樹(parse tree)：

                            Expr
                         /   |   \
                       Expr   +   Term
                     /  |  \        \
                   Expr  + Term      Factor
                    |      |       |
                   Term    Factor    Int
                    |      |
                  Factor    Int
                    |
                   Int  

整個分析樹是往左邊長，代表在這裡的規則，'+'這個符號是左結合(left associative)的，或者說這規則代表(a + a) + a。

但是我們改變了文法之後，那這個分析樹會變成：

                            Expr ---
                           /        \
                         Term      Expr' --
                          |       /  |     \ 
                        Factor   +  Term   Expr' ------
                          |          |      |  \       \
                         Int       Factor   +  Term   Expr'
                                     |           |      |
                                    Int        Factor   ${\displaystyle \epsilon }$
                                                 |
                                                Int

我們可以看出這棵樹現在是往右邊成長，意思上代表了a + ( a + a)。我們將'+'的結合律改變了, 變成是右結合的規則。 在處理加法的文法時這不是甚麼問題，但是如果我們現在處理的是減法，這就會變成是很嚴重的問題。

問題的關鍵在於有很多常用的算術規則要求左結合的規則。我們有幾種解決辦法： (a) 將規則重新改為左遞歸，(b) 使用更多的非終端符號來改寫規則，以強迫文法合乎正確的結合(c) 如果使用YACC 或者Bison，他們有所謂算符宣告(operator declarations)， %left, %right and %nonassoc，這一些算符可以告訴語法分析器產生程式(parser generator)應該遵從哪一種結合。

相關條目

• 尾部遞歸

參考資料

1. Notes on Formal Language Theory and Parsing （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, James Power, Department of Computer Science National University of Ireland, Maynooth Maynooth, Co. Kildare, Ireland.JPR02
2. Frost, R.; R. Hafiz. A New Top-Down Parsing Algorithm to Accommodate Ambiguity and Left Recursion in Polynomial Time.. ACM SIGPLAN Notices. 2006, 41 (5): 46–54 [2010-10-11]. doi:10.1145/1149982.1149988. （原始內容存檔於2020-06-28）. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
3. Frost, R.; R. Hafiz and P. Callaghan. Modular and Efficient Top-Down Parsing for Ambiguous Left-Recursive Grammars. (PDF). 10th International Workshop on Parsing Technologies (IWPT), ACL-SIGPARSE (Prague). June 2007: 109–120 [2010-10-11]. （原始內容 (PDF)存檔於2011-05-27）. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
4. Frost, R.; R. Hafiz and P. Callaghan. Parser Combinators for Ambiguous Left-Recursive Grammars. (PDF). 10th International Symposium on Practical Aspects of Declarative Languages (PADL), ACM-SIGPLAN. January 2008, 4902 (2008): 167–181 [2010-10-11]. doi:10.1007/978-3-540-77442-6_12. （原始內容存檔 (PDF)於2008-12-21）. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
5. Moore, Robert C. Removing Left Recursion from Context-Free Grammars (PDF). 6th Applied Natural Language Processing Conference. May 2000: 249–255. （原始內容 (PDF)存檔於2006-09-16）.

外部連結

• CMU lecture on left-recursion （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Practical Considerations for LALR(1) Grammars （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• X-SAIGA （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） - eXecutable SpecificAtIons of GrAmmars