四維正十一胞體

在四維空間幾何學中，正十一胞體是四維空間的一種自身對偶^[1]的抽象正多胞形（英語：Abstract polytope）^[2]，由11個二十面體半形組成^[3]。

正十一胞體
類型	抽象（英語：Abstract polytope）正多胞形
家族	抽象多胞形（英語：Abstract polytope）
維度	4
對偶多胞形	正十一胞體（自身對偶）
數學表示法
施萊夫利符號	{3,5,3}
性質
胞	11個二十面體半形
面	55個三角形
邊	55
頂點	11
組成與佈局
頂點圖	十二面體半形
對稱性
對稱群	L2(11) (order 660)
特性
抽象（英語：Abstract polytope）、正
閱 論 編

性質

四維正十一胞體共有11個胞、55個面、55條邊和11個頂點，其對偶多胞體為自己本身，是一個自身對偶的多胞體。其具有射影線性群 L₂(11) 的對稱性，因此其對稱性階數為660。

四維正十一胞體的每個頂點都是三個二十面體半形的公共頂點，因此在施萊夫利符號中，四維正十一胞體可以用{3,5,3}表示，但是此種表示法有歧義，會與正二十面體堆砌（英語：Icosahedral honeycomb）衝突，其胞二十面體半形在施萊夫利符號中亦與正二十面體{3,5}衝突，因此有時會將四維正十一胞體的施萊夫利符號以 {{3,5}₅,{5,3}₅} 表示^[4]。

歷史

1977年時，布蘭科·格林鮑姆（英語：Branko Grünbaum）嘗試將二十面體半形邊與邊組合起來，直到形成封閉區域，因而發現了四維正十一胞體。1984年時，考克斯特在更深入研究對稱性時也發現了四維正十一胞體，兩人都是獨立發現四維正十一飽體。 著名物理學家弗里曼·戴森也對這種形狀十分感興趣，並在一篇文章說道：「柏拉圖知道這件事應該會很高興。」^[5]

相關多胞體

十維正十一胞體的正投影圖（英語：Orthographic projection），包含11個頂點和55條邊。

這個四維的抽象十一胞體的邊數與十維正十一胞體的邊數一樣多，且含其面數165的三分之一。因此，在十維空間中可以被描繪為正圖形，不過它的胞是扭歪多面體，換句話說，每個胞的每一個頂點並不位於同一個歐式三維子空間中。

參見

• 四維正五十七胞體
• 正二十面體堆砌（英語：Icosahedral honeycomb）：一個施萊夫利符號與四維正十一胞體表達方式相同的雙曲正堆砌，其在施萊夫利符號中皆計為{3,5,3}，表示每個頂點都是三個「每個頂點皆是5個正三角形之公共頂點的圖形」的公共頂點，前者的「每個頂點皆是5個正三角形之公共頂點的圖形」是正二十面體、後者是二十面體半形。
• 十一胞體

參考文獻

1. B. Grünbaum, Regularity of Graphs, Complexes and Designs. Colloque Internationaux C.N.R.S., No 290, Problèmes Combinatoires et Théorie des Graphes, (Orsay 1976), pp 191-197.
2. Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0
3. Coxeter, H.S.M., A Symmetrical Arrangement of Eleven hemi-Icosahedra, Annals of Discrete Mathematics 20 pp103–114.
4. Polytope of Type {3,5,3}. abstract-polytopes.com. [2016-08-19].
5. [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 2007 ISAMA paper: Hyperseeing the Regular Hendecachoron, Carlo H. Séquin & Jaron Lanier, Also Isama 2007, Texas A&m hyper-Seeing the Regular Hendeca-choron. (= 11-Cell) Archive.is的存檔，存檔日期2013-08-28

外部連結

• J. Lanier, Jaron’s World. Discover, April 2007, pp 28-29.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Klitzing, Richard. Explanations Grünbaum-Coxeter Polytopes. bendwavy.org.