向量空間的維數定理

數學分支線性代數中，向量空間的維數定理表明，向量空間的任意一組基，都具有相同數量的元素。基的大小可能有限，也可能無窮（此時其大小為基數）。基的大小定義為向量空間的維數。^[1]

形式上，向量空間的維數定理指出：

設

V

為向量空間，

{\mathcal {B_{1},B_{2}}}

為兩組基，則兩者等勢，即元素個數

|{\mathcal {B}}_{1}|=|{\mathcal {B}}_{2}|

。

由於基是線性獨立的生成集，上述定理可由以下定理推出：

在一個向量空間

V

中，如果

G

是生成集，

I

是線性獨立集，那麼

I

的基數不大於

G

的基數。

特別地，如果 $V$ 有限生成，則每一組基皆為有限，並且具有相同數量的元素^[2]。在一般情況下，證明「任何向量空間都包含一組基」需要佐恩引理，並且實際上等價於選擇公理^{[來源請求]}，但證明「基的大小唯一」只需要布爾素理想定理^[3]。

參考資料