梅森旋轉算法

梅森旋轉演算法（Mersenne twister）是一個偽隨機數發生算法（英語：Pseudorandom number generator）。由松本眞（日語：松本真）和西村拓士^[1]在1997年開發，基於有限二進制字段上的矩陣線性遞歸${\displaystyle F_{2}}$。可以快速產生高質量的偽隨機數，修正了古典隨機數發生算法的很多缺陷。

Mersenne Twister這個名字來自周期長度取自梅森質數的這樣一個事實。這個算法通常使用兩個相近的變體，不同之處在於使用了不同的梅森素數。一個更新的和更常用的是MT19937, 32位字長。還有一個變種是64位版的MT19937-64。對於一個k位的長度，Mersenne Twister會在${\displaystyle [0,2^{k}-1]}$的區間之間生成離散型均勻分布的隨機數。

應用

梅森旋轉算法是R、Python、Ruby、IDL、Free Pascal、PHP、Maple、Matlab、GNU多重精度運算庫和GSL的默認偽隨機數產生器。從C++11開始，C++也可以使用這種算法。在Boost C++,Glib和NAG數值庫中，作為插件提供。

在SPSS中，梅森旋轉算法是兩個PRNG中的一個：另一個是產生器僅僅為保證舊程序的兼容性，梅森旋轉被描述為「更加可靠」。梅森旋轉在SAS中同樣是PRNG中的一個，另一個產生器是舊時的且已經被棄用。

優點

最為廣泛使用Mersenne Twister的一種變體是MT19937，可以產生32位整數序列。具有以下的優點：

1. 周期非常長，達到2¹⁹⁹³⁷−1。儘管如此長的周期並不必然意味着高質量的偽隨機數，但短周期（比如許多舊版本軟件包提供的2³²）確實會帶來許多問題。^[2]
2. 在1 ≤ k ≤ 623的維度之間都可以均等分布（參見定義）。
3. 除了在統計學意義上的不正確的隨機數生成器以外，在所有偽隨機數生成器法中是最快的（當時）^[3]

缺點

為了性能，這個算法付出了巨大的空間成本（當時而言）：需要 2.5 KiB 的緩存空間。2011年，松本真和西村拓士針對這一問題提出了一個更小的版本，僅占127 bits的 TinyMT （Tiny Mersenne Twister）。^[4]

k-分布

暫無

其他選擇

算法詳細

整個算法主要分為三個階段：

第一階段：獲得基礎的梅森旋轉鏈；

第二階段：對於旋轉鏈進行旋轉算法；

第三階段：對於旋轉算法所得的結果進行處理；

算法實現的過程中，參數的選取取決於梅森素數，故此得名。

相關代碼

下面的一段偽代碼使用MT19937算法生成範圍在[0, 2³² − 1]的均勻分布的32位整數：

偽代碼

 //創建一個長度為624的數組來存儲發生器的狀態
 int[0..623] MT
 int index = 0
 
 //初始化產生器，種子作為首項內容
 function initialize_generator(int seed) {
     i := 0
     MT[0] := seed
     for i from 1 to 623 { // 走訪剩下的每個元素
         MT[i] := last 32 bits of(1812433253 * (MT[i-1] xor (right shift by 30 bits(MT[i-1]))) + i) // 1812433253 == 0x6c078965
     }
 }
 
 // Extract a tempered pseudorandom number based on the index-th value,
 // calling generate_numbers() every 624 numbers
 function extract_number() {
     if index == 0 {
         generate_numbers()
     }
 
     int y := MT[index]
     y := y xor (right shift by 11 bits(y))
     y := y xor (left shift by 7 bits(y) and (2636928640)) // 2636928640 == 0x9d2c5680
     y := y xor (left shift by 15 bits(y) and (4022730752)) // 4022730752 == 0xefc60000
     y := y xor (right shift by 18 bits(y))

     index := (index + 1) mod 624
     return y
 }
 
 // Generate an array of 624 untempered numbers
 function generate_numbers() {
     for i from 0 to 623 {
         int y := (MT[i] & 0x80000000)                       // bit 31 (32nd bit) of MT[i]
                        + (MT[(i+1) mod 624] & 0x7fffffff)   // bits 0-30 (first 31 bits) of MT[...]
         MT[i] := MT[(i + 397) mod 624] xor (right shift by 1 bit(y))
         if (y mod 2) != 0 { // y is odd
             MT[i] := MT[i] xor (2567483615) // 2567483615 == 0x9908b0df
         }
     }
 }

Python 代碼

def _int32(x):
    return int(0xFFFFFFFF & x)

class MT19937:
    def __init__(self, seed):
        self.mt = [0] * 624
        self.mt[0] = seed
        self.mti = 0
        for i in range(1, 624):
            self.mt[i] = _int32(1812433253 * (self.mt[i - 1] ^ self.mt[i - 1] >> 30) + i)


    def extract_number(self):
        if self.mti == 0:
            self.twist()
        y = self.mt[self.mti]
        y = y ^ y >> 11
        y = y ^ y << 7 & 2636928640
        y = y ^ y << 15 & 4022730752
        y = y ^ y >> 18
        self.mti = (self.mti + 1) % 624
        return _int32(y)


    def twist(self):
        for i in range(0, 624):
            y = _int32((self.mt[i] & 0x80000000) + (self.mt[(i + 1) % 624] & 0x7fffffff))
            self.mt[i] = (y >> 1) ^ self.mt[(i + 397) % 624]

            if y % 2 != 0:
                self.mt[i] = self.mt[i] ^ 0x9908b0df

調用函數 MT19937(seed).extract_number() 將會返回隨機數，其中 seed 是已確定的種子。

SFMT

實現

• XLL Excel Addin Implementation of mersenne twister random number generator （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Two implementations of Mersenne Twister in Java: one is the fastest known, and the other is a drop-in replacement for java.util.Random （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• The GNU Scientific Library (GSL), containing an implementation of the Mersenne Twister （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• C++ and binary function libraries for several platforms. Multithreaded. Includes Mersenne Twister and SFMT （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Implementations of the Mersenne Twister in C and C++ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Implementation of the Mersenne Twister in C++
• Implementation of the Mersenne Twister in C++ within the Mobile Robot Programming Toolkit
• Implementation of Mersenne Twister as an add-in for Microsoft Excel （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Implementation of Mersenne Twister as a free module for Visual Basic (Microsoft Excel, Microsoft Access and VB compilers) and for other Basic versions in the official site of the Mersenne Twister （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Implementation of Mersenne Twister for REALbasic (requires REALbasic 2006r1 or greater)
• Implementation of Mersenne Twister for Lisp
• Implementation of Mersenne Twister in Euphoria
• Implementation of Mersenne Twister for C# (newer, System.Random drop-in replacement) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (Older implementation)
• Implementation of Mersenne Twister for Ada
• Implementation of Mersenne Twister for Fortran 95
• Implementation of Mersenne Twister for Mathematica
• Implementation of Mersenne Twister for MATLAB （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Implementation of Mersenne Twister for Mitrion-C （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Implementation of Mersenne Twister for Clean
• High-speed Implementation of Mersenne Twister （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） in Linoleum (a cross-platform Assembler), by Herbert Glarner
• CPAN module implementing the Mersenne Twister for use with Perl （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Implementation of Mersenne Twister for Haskell （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Implementation of Mersenne Twister for Standard ML
• Implementation of Mersenne Twister in F#
• It also is implemented in gLib and the standard libraries of at least PHP, Python and Ruby.
• RandomLib （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） C++ library implementing Mersenne Twister and SFMT.
• C++ implementation of Mersenne Twister for the IBM/Sony Cell Broadband Engine (Cell BE) specialized processing units
• Mersenne Twister ported to ActionScript
• Mersenne Twister in Clojure （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Implementation of Mersenne Twister for ABAP （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

參考列表

1. Makoto Matsumoto, Takuji Nishimura. Mersenne twister: a 623-dimensionally equidistributed uniform pseudo-random number generator. ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation (TOMACS). 1998-01-01, 8 (1): 3–30 [2018-04-02]. ISSN 1049-3301. doi:10.1145/272991.272995.
2. 註：2¹⁹⁹³⁷約等於4.3×10⁶⁰⁰¹，這個值比可觀測宇宙內粒子總數的估計值（10⁸⁷）還要高出上千個數量級。
3. P. L'Ecuyer and R. Simard, ``TestU01: A C Library for Empirical Testing of Random Number Generators, ACM Transactions on Mathematical Software, 33, 4, Article 22, August 2007.
4. Tiny Mersenne Twister (TinyMT). hiroshima-u.ac.jp. [4 October 2015]. （原始內容存檔於2020-07-11）.

外部連結

• The academic paper for MT, and related articles by Makoto Matsumoto （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Mersenne Twister home page, with codes in C, Fortran, Java, Lisp and some other languages
• SIMD-oriented Fast Mersenne Twister (SFMT) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）