高斯重力定律

高斯重力定律也稱為高斯引力通量定律, 描述的是通過一個閉曲面的引力通量與其中包含的質量之間的關係, 本質上等價於牛頓萬有引力定律. 儘管它們具有等價性, 但許多時候高斯重力定律提供了一種比牛頓萬有引力定律更為簡便的求解引力問題的方法.

本文講述的是重力場中的高斯定律, 另有電磁學中的高斯定律, 以及數學上與前述兩個高斯定律有密切關聯的高斯散度定理.

高斯重力定律在形式上與靜電學的高斯定律相同(也是麥克斯韋方程組中的一個方程). 事實上, 它們都是三維空間中力場與距離平方反比(庫侖定律)的結果.

定律的定性描述

主條目：引力場

定義引力場 g 為空間中每一點及每一時刻該處的假想放置的粒子受到的引力除以粒子質量. 顯然 g 是個向量場.

引力通量是引力場通過一個曲面的面積分. 在高斯重力定律中, 要求此曲面必須是可定向閉曲面.

高斯重力定律斷言:

通過一個可定向閉曲面的引力通量正比於其中包含的質量

積分形式

高斯重力定律的積分形式斷言:

${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \partial V}$${\displaystyle {\textrm {g}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-4\pi GM}$

其中

${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \partial V}$ 表示沿閉曲面的積分, 為了簡明起見, 也使用 ${\displaystyle \oint _{\partial V}}$ 來表示 (如下面的積分操作)

∂V 是任意閉曲面 (即是閉體區域 V 的邊界),

${\displaystyle {\textrm {ds}}}$是一個 向量, 其大小是曲面 ∂V 的面積微元, 方向與指向外的曲面法向量相同.

${\displaystyle g}$ 是 引力場,

G 是 萬有引力常數,

M 是包含在曲面 ∂V 內的總質量.

等式的左邊稱為引力通量, 它總是個負數或零, 而在電磁學中相應的通量則未必. 因為質量總是正的, 不像電荷有正有負.

微分形式

高斯重力定律的微分形式為:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho }$

其中

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} }$ 表示 散度, G 是 萬有引力常數, ρ 是每一點的密度.

參閱

• 卡爾·高斯
• 高斯定律
• 高斯散度定理

參考文獻

• For usage of the term "Gauss's law for gravity" see, for example, this article.