马尔可夫性质

馬爾可夫性質（英語：Markov property）是概率論中的一個概念，因為俄國數學家安德雷·馬可夫得名^[1]。當一個隨機過程在給定現在狀態及所有過去狀態情況下，其未來狀態的條件概率分布僅依賴於當前狀態；換句話說，在給定現在狀態時，它與過去狀態（即該過程的歷史路徑）是條件獨立的，那麼此隨機過程即具有馬爾可夫性質。具有馬爾可夫性質的過程通常稱之為馬爾可夫過程。\n

數學上，如果 ${\\displaystyle X(t),t>0}$ 為一個隨機過程，則馬爾可夫性質就是指\n

{\\displaystyle \\mathrm {Pr} {\\big [}X(t+h)=y\\,|\\,X(s)=x(s),s\\leq t{\\big ]}=\\mathrm {Pr} {\\big [}X(t+h)=y\\,|\\,X(t)=x(t){\\big ]},\\quad \\forall h>0.}

馬爾可夫過程通常稱其為（時間）齊次，如果滿足\n

{\\displaystyle \\mathrm {Pr} {\\big [}X(t+h)=y\\,|\\,X(t)=x(t){\\big ]}=\\mathrm {Pr} {\\big [}X(h)=y\\,|\\,X(0)=x(0){\\big ]},\\quad \\forall t,h>0,}

除此之外則被稱為是（時間）非齊次的。齊次馬爾可夫過程通常比非齊次的簡單，構成了最重要的一類馬爾可夫過程。\n

某些情況下，明顯的非馬爾可夫過程也可以通過擴展「現在」和「未來」狀態的概念來構造一個馬爾可夫表示。設 ${\\displaystyle X}$ 為一個非馬爾可夫過程。我們就可以定義一個新的過程 ${\\displaystyle Y}$ ，使得每一個 ${\\displaystyle Y}$ 的狀態表示 ${\\displaystyle X}$ 的一個時間區間上的狀態，用數學方法來表示，即，\n

{\\displaystyle Y(t)={\\big \\{}X(s):s\\in [a(t),b(t)]\\,{\\big \\}}.}

如果 ${\\displaystyle Y}$ 具有馬爾可夫性質，則它就是 ${\\displaystyle X}$ 的一個馬爾可夫表示。\n在這個情況下， ${\\displaystyle X}$ 也可以被稱為是二階馬爾可夫過程。更高階馬爾可夫過程也可類似地來定義。\n

具有馬爾可夫表示的非馬爾可夫過程的例子，例如有移動平均時間序列。\n

最有名的馬爾可夫過程為馬爾可夫鏈，但不少其他的過程，包括布朗運動也是馬爾可夫過程。\n

參考文獻

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[1]
Markov, A. A. (1954). Theory of Algorithms. [Translated by Jacques J. Schorr-Kon and PST staff] Imprint Moscow, Academy of Sciences of the USSR, 1954 [Jerusalem, Israel Program for Scientific Translations, 1961; available from Office of Technical Services, United States Department of Commerce] Added t.p. in Russian Translation of Works of the Mathematical Institute, Academy of Sciences of the USSR, v. 42. Original title: Teoriya algorifmov. [QA248.M2943 Dartmouth College library. U.S. Dept. of Commerce, Office of Technical Services, number OTS 60-51085.]

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