頻率 (統計學)

此條目介紹的是統計學中的頻率。關於物理學裡的意義，請見「頻率 (物理學)」。

統計學裡，一事件${\displaystyle i}$的頻率，可以表示為${\displaystyle f_{i}}$，是在實驗中觀測到事件${\displaystyle i}$的次數與總實驗次數的比值^[1]。例如在擲骰子100次的隨機實驗中，有16次擲出6點，則在該實驗中，「擲出6點」事件的頻率為0.16。

事件${\displaystyle i}$的頻數（或次數），即為實驗中觀測到事件${\displaystyle i}$的次數^[1][2]。

實務上，常會將各事件的頻率用圖表或是表格方式表示。

種類

累計頻率（cumulative frequency）是事件經排序後，在特定點以下之事件的頻率總和。^[3]。

可以將所有事件的頻率${\displaystyle f_{i}}$繪出，即為頻率分布（frequency distribution）。

頻率分佈

美國2000年通勤所需時間的直方圖

條形圖，其中以國家為分類變量

水平3D條形圖

世界各國人口分佈的圓餅圖

各種描繪頻率分佈的方法

頻率分佈（frequency distribution）可以呈現一個分為各互斥分組資料的情形，以及各組的數量。這是呈現未組織資料（例如選舉結果、某區域的的人口收入、畢業生助學貸款金額）的方式。呈現頻率分佈的圖表有直方圖、條形圖、折線圖及圓餅圖。頻率分佈可以用在量化和質化的資料。

建構頻率分佈

1. 決定分組組數。若統計的是量化的資料，需要決定分組的組數。組數太多或是太少會無法呈現資料的特性，也有可能很難依該組數來進行分組和分析。理想的分組組數可以參考：${\displaystyle {\text{number of classes}}=C=1+3.3\log n}$（log是以10為基底），或是依直方圖的「方根公式」${\displaystyle C={\sqrt {n}}}$，其中n是資料的總數（若是像人口資料的統計，用後者會分太多組）。不過這些公式只是作為參，還是需要依實際情形作調整。
2. 用資料最大值和最小值計算資料全距（全距=最大值 – 最小值）。全距會用來決定每一組的寬度。
3. 決定每一組的寬度，以h來表示，公式為${\displaystyle h={\frac {\text{range}}{\text{number of classes}}}}$（假設每一組的寬度都相同）。

一般來說每一組的寬度會相同。所有的組總和需要從數據中的最小值到最大值都包括在內。在頻率分佈上一般會傾向使用相同的組寬，不過有些時候使用不同的組寬（例如使用對數區問），才能完整的看到數據的資訊，避免有許多區間沒有資料，或是只有極少量資料的情形^[4]。

1. 決定第一組的下限。一般會小於或等於最小值。
2. 每觀測一個資料，就在其對應的分組加上一個記號，直到所有的資料都記錄完為止。
3. 依需求計算頻率、相對頻率、累計頻率等資訊。

以下是一些常用來呈現頻率分佈的圖表^[5]：

直方圖

主條目：直方圖

直方圖是用相鄰的長方形呈現頻率分佈情形的圖表，每一個長方形對應某一區間內的事件，其長方形的高度會對應此區間內的頻率密度（頻率除以區間寬度），因此長方形面積即對應其頻率。直方圖的總面積即為資料的筆數。也可以用直方圖顯示標準化後的相對頻率，可以呈現各分類下的比例，總面積對應1。一般來說會將分類劃分為數個連續不重疊的區間，各區間多半是等寬度的^[6]。繪圖時會將直方圖的各長方形繪成是相鄰的，以表示其原始變數的連續性^[7]。

條形圖

條形圖（bar chart、bar graph）是用長方形的長度表示變量的統計圖表。長方形長條可以水平放置，也可以垂直放置。

頻率分佈表

頻率分佈表是用表格表示抽樣中一個或是多個變數的情形。表格的每一橫行是某個特殊分組或是區間出現的頻率或是次數，這個表可以總結抽樣中的統計分佈。

以下是一個單變數的頻率表，會列出問卷每一種回應的頻率。

排名	同意程度	頻數	頻率
1	強烈同意	22	0.216
2	有些同意	30	0.294
3	不確定	20	0.196
4	有些不同意	15	0.147
5	強烈不同意	15	0.147

以下是班上學生的身高的頻率表

身高範圍	學生人數	累計數量
小於 5.0 英尺	25	25
5.0-5.5 英尺	35	60
5.5-6.0 英尺	20	80
6.0-6.5 英尺	20	100

聯合頻率分佈

詮釋

在頻率論（英語：Frequentist probability）（Frequentist probability）詮釋的概率下，會假設隨著樣本數量的一直增加，特定事件出現的比率最終會接近一個定值，稱為有限相對頻率（limiting relative frequency）^[8][9]。

此一詮釋和貝氏機率的結論相反。頻率學派（frequentist）一詞最早是由Maurice Kendall（英語：Maurice Kendall）在1949年開始使用，和Bayesian相對（Maurice稱為是非頻率學派，non-frequentists）^[10][11]。他觀察到

3....我們可以大致區分兩種主要的態度。一種將概率視為是「理性信念的程度」，或是其他類似的概念...另一種將概率定義成某事件發生的頻率，或是在整體中的相對比例(p. 101)

...

12. 可能會有人認為，頻率學派和非頻率學派（若我這樣稱呼那些人的話）的差異主要是因為個自聲稱涵蓋領域的不同(p. 104)

...

我斷言不是這樣的 ... 我認為，頻率學派和非頻率學派本質上的差異是，前者為了避免任何觀點問題，用客觀的特性（可能是真的，也可能是假想的）來定義概率，而後者就不然

應用

處理和操作表格化的事件頻率資訊，比處理原始資料會簡單多了。有簡單的演算法可以根據表格計算中位數、平均、標準差等。

假說檢定可以用來評估二個頻率分佈的差異和類似性。評估包括量測集中趨勢，像是平均數及中位數，也會評估離散程度，像是標準差和方差。

若頻率分佈的平均和中位數有顯著差異，會稱為頻率分佈具有偏度，另一種說法則是非對稱。頻率分佈的峰度是量測在頻率分佈兩側的量在總量中的比例。若其分佈比常態分佈要分散，則稱為高狹峰（leptokurtic），反之，則為低狹峰（platykurtic）。

字母頻率分佈可以用在頻率分析上，用以破解密碼，也可以用來比較不同語言之間（例如希臘文、拉丁文）的字母相對頻率。

相關條目

• 數學主題

• 計數資料（英語：Count data）
• 列聯表
• 累積分布函數
• 累積頻率分析（英語：Cumulative frequency analysis）
• 經驗分布函數
• 大數法則
• 多重集
• 機率密度函數
• 頻率詮釋（英語：Probability interpretations）
• 統計規則性（英語：Statistical regularity）

參考資料

1. 茆詩松，程依明，濮曉龍．概率论与数理统计教程 [M]. 3版．北京：高等教育出版社, 2019 (2022): 13-14. 978-7-04-051148-2.
2. 频数 [DB/OL] [2024] // 陳至立．辞海. 7版網絡版．上海：上海辭書出版社, 2020.
3. Kenney, J. F.; Keeping, E. S. Mathematics of Statistics, Part 1 3rd. Princeton, NJ: Van Nostrand Reinhold. 1962: 17–19.
4. Manikandan, S. Frequency distribution. Journal of Pharmacology & Pharmacotherapeutics. 1 January 2011, 2 (1): 54–55. ISSN 0976-500X. PMC 3117575 . PMID 21701652. doi:10.4103/0976-500X.77120 .
5. Carlson, K. and Winquist, J. (2014) An Introduction to Statistics. SAGE Publications, Inc. Chapter 1: Introduction to Statistics and Frequency Distributions
6. Howitt, D. and Cramer, D. (2008) Statistics in Psychology. Prentice Hall
7. Charles Stangor (2011) "Research Methods For The Behavioral Sciences". Wadsworth, Cengage Learning. ISBN 9780840031976.
8. von Mises, Richard (1939) Probability, Statistics, and Truth (in German) (English translation, 1981: Dover Publications; 2 Revised edition. ISBN 0486242145) (p.14)
9. The Frequency theory Chapter 5; discussed in Donald Gilles, Philosophical theories of probability (2000), Psychology Press. ISBN 9780415182751 , p. 88.
10. Earliest Known Uses of Some of the Words of Probability & Statistics
11. Kendall, Maurice George. On the Reconciliation of Theories of Probability. Biometrika (Biometrika Trust). 1949, 36 (1/2): 101–116. JSTOR 2332534. doi:10.1093/biomet/36.1-2.101.