方根

在數學中，一數 $b$ 為數 $a$ 的 $n$ 次方根，則 $b^{n}=a$ 。在提及實數 $a$ 的 $n$ 次方根的時候，若指的是此數的主 $n$ 次方根，則可以用根號（ ${\sqrt {\color {white}t}}$ ）表示成 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 。例如：1024的主10次方根為2，就可以記作 ${\sqrt[{10}]{1024}}=2$ 。當 $n=2$ 時，則 $n$ 可以省略。定義實數 $a$ 的主 $n$ 次方根為 $a$ 的 $n$ 次方根，且具有與 $a$ 相同的正負號的唯一實數 $b$ 。在 $n$ 是偶數時，負數沒有主 $n$ 次方根。習慣上，將2次方根叫做平方根，將3次方根叫做立方根。

方根也是冪的分數指數，即數 $b$ 為數 $a$ 的 ${\frac {1}{n}}$ 次方：

b={\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}

最早的根號「√」源於字母「r」的變形（出自拉丁語latus的首字母，表示「邊長」），沒有線括號（即被開方數上的橫線），後來數學家笛卡爾給其加上線括號，但與前面的方根符號是分開的，因此在複雜的式子顯得很亂。直至18世紀中葉，數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成，並將根指數寫在根號的左上角，以表示高次方根（當根指數為2時，省略不寫。）。形成了現在所熟悉的開方運算符號 ${\sqrt {\color {white}x}}$ 。

考慮在計算機中的輸入問題，有時也可以使用sqrt(a,b)來表示a的b次方根。

帶有根號的運算可由如下公式推導而得:

{\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\qquad a\geq 0,b\geq 0

{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad a\geq 0,b>0

{\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},

這裡的a和b是正數。

對於所有的非零複數 $a$ ，有 $n$ 個不同的複數 $b$ 使得 $b^{n}=a$ ，所以符號 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 就會出現歧義（通常這樣寫是取 $n$ 個值當中主幅角最小的）。 $n$ 次單位根是特別重要的。

當一個數從根號形式變換到冪形式，冪的規則仍適用（即使對分數冪），也就是

a^{m}a^{n}=a^{m+n}

\left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}

\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}

例如:

{\sqrt[{3}]{a^{5}}}{\sqrt[{5}]{a^{4}}}=a^{\frac {5}{3}}a^{\frac {4}{5}}=a^{{\frac {5}{3}}+{\frac {4}{5}}}=a^{\frac {37}{15}}

若要做加法或減法，需考慮下列的概念。

{\sqrt[{3}]{a^{5}}}={\sqrt[{3}]{aaaaa}}={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}

若已可以簡化根式表示式，則加法和減法就只是群的「同類項」問題。

例如

{\sqrt[{3}]{a^{5}}}+{\sqrt[{3}]{a^{8}}}

={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{a^{6}a^{2}}}

=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[{3}]{a^{2}}}

=({a+a^{2}}){\sqrt[{3}]{a^{2}}}

未經化簡的根數，一般叫做「不盡根數」（surd），可以處理為更簡單的形式。

如下恆等式是處理不盡根數的基本技巧:

${\sqrt {a^{2}b}}=abs(a){\sqrt {b}}$

${\sqrt[{n}]{a^{m}b}}=a^{\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{b}}$

${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$

$\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)^{-1}={\frac {1}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{a-b}}$

方根可以表示為無窮級數:

{\begin{aligned}&(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(s+t-kt)}{(s+t)n!t^{n}}}x^{n}\\&(|x|<1)\end{aligned}}

任何數的所有的根，實數或複數的，可以通過簡單的算法找到。這個數應當首先被寫為如下形式 $ae^{i\varphi }$ (參見歐拉公式)。接着所有的n次方根給出為:

e^{({\frac {\varphi +2k\pi }{n}})i}\times {\sqrt[{n}]{a}}

對於 $k=0,1,2,\ldots ,n-1$ ，這裡的 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 表示 $a$ 的主 $n$ 次方根。

正實數

所有 $x^{n}=a$ 或 $a$ 的 $n$ 次方根，這裡的 $a$ 是正實數，的複數解由如下簡單等式給出:

e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}\times {\sqrt[{n}]{a}}

對於 $k=0,1,2,\ldots ,n-1$ ，這裡的 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 表示 $a$ 的主 $n$ 次方根。

曾經有數學猜想，認為多項式的所有根可以用根號和四則運算來表達；但是阿貝爾-魯菲尼定理斷言了這不是普遍為真的。例如，方程

\ x^{5}=x+1

的解不能用根號表達。

要解任何n次方程，參見求根算法。

對於正數 $A$ ，可以通過以下算法求得 ${\sqrt[{n}]{A}}$ 的值：

猜一個 ${\sqrt[{n}]{A}}$ 的近似值，將其作為初始值 $x_{0}$
設 $x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]$ 。記誤差為 $\Delta x_{k}={\frac {1}{n}}\left[{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}-x_{k}\right]$ ，即 $x_{k+1}=x_{k}+\Delta x_{k}$ 。
重複步驟2，直至絕對誤差足夠小，即： $|\Delta x_{k}|<\epsilon$ 。