邏輯與

在邏輯和數學中，邏輯合取或邏輯與或且是一個二元邏輯運算符。如果其兩個變量的真值都為「真」，其結果為「真」，否則其結果為「假」。^[1][2][3]

文氏圖 ${\displaystyle A\land B}$

相關名稱

基本符號：${\displaystyle \land }$

英文名：logical conjunction

中文名：邏輯與，合取，交集，按位與，邏輯乘，與門，...

命題邏輯中的二元連接詞合取，是一個兩元算子，集合論中的交集算子，二進制中的邏輯乘算子，按位與（Bitwise AND），邏輯門中的「與」門（AND gate），編程語言中的&或and運算符等等。

基本定義

邏輯與（logical conjunction）是兩個邏輯變量的一種運算，經常是兩個命題的運算。它滿足：當且僅當其兩個變量的真值都為真時，其結果為真。

邏輯與${\displaystyle \land }$是個二元算子，運算結果取值為真的條件是，當且僅當兩個命題的取值都真時。命題是取值要麼是真要麼是假的二值語句，沒有第三種取值，或說值域為{真，假}或是{T,F}或是{0,1}。未知真又未知假的語句是猜想；既真又假，既不真又不假的語句是悖論。

複合命題${\displaystyle ~A\land B}$，讀作A合取B，在GCT邏輯中，也叫聯言命題。也有稱為合取命題的。

真值表定義

A與B的真值表（也寫作A${\displaystyle \land }$B（邏輯學），A && B（計算機科學），或A${\displaystyle \cdot }$B（電子學））。

${\displaystyle ~A\land B}$ 的真值表:

輸入		輸出
${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\land B}$
真	真	真
真	假	假
假	真	假
假	假	假

推理規則

合成與分解規則

合取引入規則

合取引入規則（∧+）（conjunction introduction rule）或聯言推理的合成式，是經典邏輯中簡單且有效的論證形式。這個論證形式有兩個前提，A和B，可以直觀地推出他們的合取。

其形式如下：

A,

B.

因此A且B.

形式化為：

${\displaystyle \mathbf {A} ,}$

${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \vdash A\land B}$

下面的例子是滿足聯言推理的合成式的論證：

小橘子是正妹。

小橘子是車神。

因此小橘子是正妹也是車神。

另一個例子如下：

1小於2

6大於5

因此，1小於2，而且6大於5。

還有一個例子如下：

有一些PSPACE問題不是NL問題

有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題

因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題

合取消去規則

合取消去規則（∧-）（Conjunction elimination rule）或聯言推理的分解式，是另一個在經典邏輯中簡單且有效的論證形式。從任何合取式中都可以直觀地推論出兩個前提中的任意一個。

其形式如下：

A且B。

因此A。

...或者，

A且B.

因此B.

用邏輯運算符描述為，

形式化為:

${\displaystyle A\land B}$

${\displaystyle \vdash A}$

或者,

${\displaystyle A\land B}$

${\displaystyle \vdash B}$

例如:

有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題

因此有一些PSPACE問題不是NL問題

或者

有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題

因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題

另一個例子如下：

1小於2，而且6大於5。

因此1小於2。

或者

1小於2，而且6大於5。

因此6大於5。

還有一個例子如下：

小橘子是正妹也是車神。

因此小橘子是正妹。

或者

小橘子是正妹也是車神。

因此小橘子是車神。

性質

邏輯與滿足以下性質：

• 結合律: ${\displaystyle A\land (B\land C)\equiv (A\land B)\land C}$

• 交換律: ${\displaystyle A\land B\equiv B\land A}$

• 分配律: ${\displaystyle (A\land (B\lor C))\equiv ((A\land B)\lor (A\land C))}$

${\displaystyle (A\lor (B\land C))\equiv ((A\lor B)\land (A\lor C))}$

• 冪等律: ${\displaystyle A\land A\equiv A}$

• 單調性: ${\displaystyle (A\rightarrow B)\rightarrow ((C\land A)\rightarrow (C\land B))}$

${\displaystyle (A\rightarrow B)\rightarrow ((A\land C)\rightarrow (B\land C))}$

• 保真性: 所有變量的真值皆為「真」的命題在邏輯與運算後的結果為真。

• 保假性: 所有變量的真值皆為「假」的命題在邏輯與運算後的結果為假。

如果用二進制來表達真（1）和假（0），邏輯與運算與算術乘法運算一致。

計算機科學中的運用

與門

位運算

邏輯與常在位運算中使用，比如：

• 0 and 0 = 0
• 0 and 1 = 0
• 1 and 0 = 0
• 1 and 1 = 1

• 1100 and 1010 = 1000

編程中的使用

在高等計算機編程中，邏輯合取「與」通常由內置算符and或&號來表達。很多編程語言還提供與邏輯與相應的短路求值控制結構。

布爾「與」也在SQL的運算符中使用。有些數據庫區分大小寫，需要"AND"符號。

在計算機科學中，AND運算符可以用來構造位屏蔽，以選擇二進制序列的一部分。比如10011101 AND 00001000 = 00001000用來取二進制序列的第五位。

交集運算

集合論中的交運算是用邏輯與來定義的：x ∈ A ∩ B當且僅當(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)。因此邏輯與有很多與交集運算相同的性質，諸如結合律，交換律，分配律，及德·摩根定律。

註釋

1. Comprehensive List of Logic Symbols. Math Vault. 2020-04-06 [2020-09-02]. （原始內容存檔於2021-05-13） （美國英語）.
2. Conjunction, Negation, and Disjunction. philosophy.lander.edu. [2020-09-02]. （原始內容存檔於2021-04-21）.
3. 2.2: Conjunctions and Disjunctions. Mathematics LibreTexts. 2019-08-13 [2020-09-02]. （原始內容存檔於2020-11-05） （英語）.

參見

• 與門

相關網頁

• Wolfram Mathematics Conjunction （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• All Math Words Encyclopedia Conjunction （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Hazewinkel, Michiel (編), Conjunction, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Property and truth table of AND propositions. （原始內容存檔於May 6, 2017）.

template:Common logical symbols（英語：template:Common logical symbols）